秒杀！$x$ 的多项式的极值点拐点

首先，我们先要了解这个结论

设 $x_0$ 是方程 $f(x)=0$ 的 $n$ 重根，即 $f(x)=(x-x_0)^n g(x)$ 且 $g(x_0)\neq 0$. 若 $g(x)$ 具有 $n$ 阶导数， 则 (1) 当 $n=1$ 时，$f'(x_0)\neq 0$，即 $x_0$ 不是 $f'(x)=0$ 的根； (2) 当 $n\ge 2$ 时，$x_0$ 是 $f'(x)=0$ 的 $n-1$ 重根. 依此类推，$x_0$ 是 $f^{(k)}(x)=0$ 的 $n-k$ 重根，$k=1,2,\dots,n-1$，且 $x_0$ 不是 $f^{(n)}(x)=0$ 的根.

上述结论可简单表述为求一次导，根的重数减少一次

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2011数一真题

(1) 曲线 $y=(x-1)(x-2)^2(x-3)^3(x-4)^4$ 的拐点是（C） (A) $(1,0)$. (B) $(2,0)$. (C) $(3,0)$. (D) $(4,0)$.

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例 2.27 改编自 2011 年数一真题

求 $f(x)=(x-1)(x-2)^2(x-3)^3(x-4)^4$ 的零点、驻点、极值点、拐点个数