8.2.5 随堂练习：状态空间表达式的四大标准型

练习题 1：严格真分式首一化与能控/能观型

第一步：首一化与补零降幂排列 分子分母同除以 2：

G(s) = \frac{\frac{1}{2}s^2 - \frac{1}{2}}{s^3 + \frac{3}{2}s} = \frac{\frac{1}{2}s^2 + 0\cdot s - \frac{1}{2}}{s^3 + 0\cdot s^2 + \frac{3}{2}s + 0}

提取系数：

第二步：能控标准型

\boldsymbol{\dot{x}} = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & -\frac{3}{2} & 0 \end{bmatrix} \boldsymbol{x} + \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} u,\qquad y = \begin{bmatrix} -\frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2} \end{bmatrix} \boldsymbol{x}

第三步：能观标准型

\boldsymbol{\dot{x}} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & -\frac{3}{2} \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix} \boldsymbol{x} + \begin{bmatrix} -\frac{1}{2} \\ 0 \\ \frac{1}{2} \end{bmatrix} u,\qquad y = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \boldsymbol{x}

第一步：长除法分离常数项与真分式

G(s) = \frac{5(s^3 + 2s^2 + 3s + 5) - 10s^2 - 15s - 18}{s^3 + 2s^2 + 3s + 5} = 5 + \frac{-10s^2 - 15s - 18}{s^3 + 2s^2 + 3s + 5}

提取系数：

第二步：能控标准型

\boldsymbol{\dot{x}} = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ -5 & -3 & -2 \end{bmatrix} \boldsymbol{x} + \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} u,\qquad y = \begin{bmatrix} -18 & -15 & -10 \end{bmatrix} \boldsymbol{x} + 5u

第三步：能观标准型

\boldsymbol{\dot{x}} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & -5 \\ 1 & 0 & -3 \\ 0 & 1 & -2 \end{bmatrix} \boldsymbol{x} + \begin{bmatrix} -18 \\ -15 \\ -10 \end{bmatrix} u,\qquad y = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \boldsymbol{x} + 5u

第一步：部分分式展开 分母因式分解： $s^2 + 6s + 5 = (s+1)(s+5)$ 。

G(s) = \frac{-0.25}{s + 1} + \frac{2.25}{s + 5}

特征值： $\lambda_1 = -1,\ \lambda_2 = -5$ ；留数： $c_1 = -0.25,\ c_2 = 2.25$ 。

第二步：写出形式一与形式二

形式一（增益后置）： $\boldsymbol{\dot{x}} = \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -5 \end{bmatrix} \boldsymbol{x} + \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} u,\qquad y = \begin{bmatrix} -0.25 & 2.25 \end{bmatrix} \boldsymbol{x}$
形式二（增益前置）： $\boldsymbol{\dot{x}} = \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -5 \end{bmatrix} \boldsymbol{x} + \begin{bmatrix} -0.25 \\ 2.25 \end{bmatrix} u,\qquad y = \begin{bmatrix} 1 & 1 \end{bmatrix} \boldsymbol{x}$

第一步：部分分式展开

G(s) = \frac{1}{s} + \frac{3}{s + 2} + \frac{-4}{s + 3}

特征值： $\lambda_1 = 0,\ \lambda_2 = -2,\ \lambda_3 = -3$ ；留数： $c_1 = 1,\ c_2 = 3,\ c_3 = -4$ 。

第二步：写出状态空间表达式

形式一（增益后置）： $\boldsymbol{\dot{x}} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & -3 \end{bmatrix} \boldsymbol{x} + \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} u,\qquad y = \begin{bmatrix} 1 & 3 & -4 \end{bmatrix} \boldsymbol{x}$
形式二（增益前置）： $\boldsymbol{\dot{x}} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & -3 \end{bmatrix} \boldsymbol{x} + \begin{bmatrix} 1 \\ 3 \\ -4 \end{bmatrix} u,\qquad y = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \end{bmatrix} \boldsymbol{x}$

第一步：部分分式降幂展开

G(s) = \frac{\frac{3}{2}}{(s + 1)^2} + \frac{\frac{5}{4}}{s + 1} - \frac{\frac{1}{4}}{s + 3}

第二步：装配约旦标准型

\boldsymbol{\dot{x}} = \begin{bmatrix} -1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -3 \end{bmatrix} \boldsymbol{x} + \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} u,\qquad y = \begin{bmatrix} \frac{3}{2} & \frac{5}{4} & -\frac{1}{4} \end{bmatrix} \boldsymbol{x}