MASTERY · CONTROL ENGINEERING

8.6.3 最小实现

10 SEPT 20261.2k WORDS5 MIN READ#考研816

8.6.3 最小实现

一、最小实现的基本概念与定义

二、最小实现的充要条件与判据

对于传递函数 $W(s)$ 与状态空间实现 $(A, B, C, D)$ ，以下两个判定准则互为充要条件：

状态空间判据（代数准则）：
状态空间描述 $(A, B, C)$ 是 $W(s)$ 最小实现的充要条件是：系统既完全能控，又完全能观。 $\operatorname{rank} Q_c = \operatorname{rank} \begin{bmatrix} B & AB & \cdots & A^{n-1}B \end{bmatrix} = n \quad \text{且} \quad \operatorname{rank} Q_o = \operatorname{rank} \begin{bmatrix} C \\ CA \\ \vdots \\ CA^{n-1} \end{bmatrix} = n$
复频域判据（传递函数准则）：
系统传递函数 $W(s)$ 的分子多项式与分母多项式之间不存在公因式（不存在零极点相消）。

三、求最小实现的常用方法

途径一：传递函数约分直接法（高频极速法）
- 将传递函数分子分母的公因式彻底对消，化为既约分式；
- 利用控制标准型、观测标准型直接写出状态空间矩阵 $(A, B, C)$ 。
途径二：状态空间结构分解法（理论通用法）
- 若给定状态空间 $(A, B, C)$ 不是最小实现，先进行能控性分解，剔除不能控子空间；
- 再对能控子系统进行能观性分解，提取既能控又能观的子块 $(\hat{A}_{co}, \hat{B}_{co}, \hat{C}_{co})$ ，即为原系统的最小实现。
途径三：约旦标准型保留法（对角/约旦阵法）
- 将系统矩阵 $A$ 相似对角化或化为约旦型；
- 依据约旦判据找出同时满足能控性与能观性的状态变量，删除不能控和不能观的模式，剩余部分构成的子系统即为最小实现。

四、典型例题全解

Step 1：能控性与能观性分析
矩阵 $A = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -2.5 \end{bmatrix}$ 为对角阵。

$B = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}$ ，对应第二行（特征值 $\lambda = -2.5$ ）的输入系数为 $0$ ，故系统不完全能控。
$C = \begin{bmatrix} 1 & 1 \end{bmatrix}$ ，对应两特征值的输出系数均不为零，故系统完全能观。

由于系统不完全能控，根据判据，该系统不是最小实现。

Step 2：提取最小实现
状态变量 $x_1$ 既受控又可观，其对应的能控能观子空间为：

\dot{x}_c = x_c + u, \quad y_c = x_c

即最小实现为一阶系统： $A_{\min} = 1, B_{\min} = 1, C_{\min} = 1$ 。其传递函数为 $G(s) = \frac{1}{s - 1}$ 。

Step 1：零极点相消化简
传递函数分子分母存在公因式 $(s + 1)$ ，发生零极点相消：

G(s) = \frac{s + 1}{(s + 1)(s + 3)(s + 6)} = \frac{1}{(s + 3)(s + 6)} = \frac{1}{s^2 + 9s + 18}

化简后分母阶数为 $2$ ，故最小实现的维数为 $n = 2$ 。

Step 2：写出能控标准型最小实现
分母特征多项式 $a(s) = s^2 + a_1 s + a_0 = s^2 + 9s + 18$ ，分子多项式 $b(s) = 1$ （ $b_1 = 0, b_0 = 1$ ）。其能控标准型为：

\begin{cases} \dot{x}(t) = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -18 & -9 \end{bmatrix} x(t) + \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} u(t) \\ y(t) = \begin{bmatrix} 1 & 0 \end{bmatrix} x(t) \end{cases}

验证能控与能观矩阵：

Q_c = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & -9 \end{bmatrix} \implies \operatorname{rank} Q_c = 2, \quad Q_o = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \implies \operatorname{rank} Q_o = 2

既能控又能观，确为最小实现。

五、最小实现的代数等价定理

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