复合函数的极限嵌套

一、核心命题

二、反例

反例 1：内函数恒为极限值

反例 2：内函数无穷多次取到极限值

设

g(x)=x\sin\frac1x,\qquad f(x)=\begin{cases}x,&x\ne 0,\\1,&x=0.\end{cases}

则

\lim_{x\to 0}g(x)=0,\qquad \lim_{x\to 0}f(x)=0.

当 $x\to 0$ 时， $g(x)=x\sin\frac1x$ 不恒为 $0$ ，但它会在无穷多个点处取到 $0$ （例如 $x=\dfrac1{k\pi}$ ， $k\to\infty$ ）。在这些点上 $f(g(x))=f(0)=1$ ；而在 $g(x)\ne 0$ 的点上 $f(g(x))=g(x)\to 0$ 。

因此 $f(g(x))$ 在 $0$ 与 $1$ 之间反复横跳，极限

\lim_{x\to 0}f(g(x))

不存在。

ギターと孤独と蒼い惑星

复合函数的极限嵌套

复合函数的极限嵌套

一、核心命题

二、反例

反例 1：内函数恒为极限值

反例 2：内函数无穷多次取到极限值

三、保证结论成立的两个条件

条件 1： $g(x)\ne A$ （从根本上排除反例）

条件 2： $f(x)$ 在 $A$ 处连续（亡羊补牢的“兜底”）

四、一句话总结

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复合函数的极限嵌套

一、核心命题

二、反例

反例 1：内函数恒为极限值

反例 2：内函数无穷多次取到极限值

三、保证结论成立的两个条件

条件 1：g(x)≠Ag(x)\ne Ag(x)=A（从根本上排除反例）

条件 2：f(x)f(x)f(x) 在 AAA 处连续（亡羊补牢的“兜底”）

四、一句话总结

条件 1： $g(x)\ne A$ （从根本上排除反例）

条件 2： $f(x)$ 在 $A$ 处连续（亡羊补牢的“兜底”）