向量、线性表示与线性相关性

本章讨论的对象是向量组。考研线性代数中若无特别说明，通常把向量写成列向量；行向量往往与方程组联系在一起。

本文按照“定义、核心结论、适用条件、推导”整理，并将严格证明与 Wolfram 符号验证分开。Wolfram 负责核对具体矩阵的秩、零空间和线性方程组，不能代替一般性证明。

一、向量的定义与基本运算

1. $n$ 维向量

$n$ 个数 $a_1,a_2,\ldots,a_n$ 组成的有序数组称为 $n$ 维向量。列向量写作

$$\alpha= \begin{pmatrix} a_1\\a_2\\\vdots\\a_n \end{pmatrix},$$

行向量写作

$$\alpha^T=(a_1,a_2,\ldots,a_n).$$

其中 $a_1,a_2,\ldots,a_n$ 称为向量的分量或坐标。

适用条件： 向量相等、相加或作内积时，维数必须相同。

2. 向量加法与数乘

设

$$\alpha=(a_1,a_2,\ldots,a_n)^T, \qquad \beta=(b_1,b_2,\ldots,b_n)^T,$$

则

$$\alpha+\beta =(a_1+b_1,a_2+b_2,\ldots,a_n+b_n)^T,$$ $$k\alpha=(ka_1,ka_2,\ldots,ka_n)^T.$$

向量加法和数乘都是逐个分量进行的。

3. 内积、模长与正交

在实向量空间中，$\alpha$ 与 $\beta$ 的内积为

$$(\alpha,\beta) =\alpha^T\beta =\beta^T\alpha =a_1b_1+a_2b_2+\cdots+a_nb_n.$$

向量的模长为

$$\|\alpha\| =\sqrt{\alpha^T\alpha} =\sqrt{a_1^2+a_2^2+\cdots+a_n^2}.$$

若 $\alpha\ne0$，则

$$\frac{\alpha}{\|\alpha\|}$$

是与 $\alpha$ 同方向的单位向量。

适用条件： 单位化要求 $\alpha\ne0$，因为零向量的模长为零，不能作为分母。

若

$$(\alpha,\beta)=0,$$

则称 $\alpha$ 与 $\beta$ 正交，记为 $\alpha\perp\beta$。

核心结论

对实向量 $\alpha$，有

$$\alpha^T\alpha=0 \iff a_1^2+a_2^2+\cdots+a_n^2=0 \iff \alpha=0.$$

证明的关键是实数平方均非负，若平方和为零，则每一项都只能为零。

适用条件： 该“平方和为零推出每项为零”的论证建立在实数范围内。复向量的标准内积应使用共轭转置 $\alpha^H\alpha$，不能直接照搬 $\alpha^T\alpha$。

例：模长与单位化

取

$$\alpha=(1,2,3)^T,$$

则

$$\alpha^T\alpha=1^2+2^2+3^2=14, \qquad \|\alpha\|=\sqrt{14},$$

对应的单位向量为

$$\frac{1}{\sqrt{14}}(1,2,3)^T.$$

Wolfram 对 alpha.alpha、Sqrt[alpha.alpha] 和 Normalize[alpha] 的精确计算分别得到 $14$、$\sqrt{14}$ 和上述单位向量。

二、线性组合与线性表示

1. 线性组合

给定向量组

$$\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_m,$$

表达式

$$k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_m\alpha_m$$

称为该向量组的一个线性组合，其中 $k_1,k_2,\ldots,k_m$ 为数。

2. 线性表示

若存在一组数 $k_1,k_2,\ldots,k_m$，使

$$\beta=k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_m\alpha_m,$$

则称向量 $\beta$ 可由向量组 $\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_m$ 线性表示。

把向量作为列排成矩阵

$$A=(\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_m), \qquad x=(k_1,k_2,\ldots,k_m)^T,$$

线性表示等价于非齐次方程组

$$Ax=\beta$$

有解。

3. 线性表示的秩判据

$$\beta\text{ 可由 }\alpha_1,\ldots,\alpha_m\text{ 线性表示}$$

当且仅当

$$r(\alpha_1,\ldots,\alpha_m) =r(\alpha_1,\ldots,\alpha_m,\beta).$$

推导

由线性表示的定义，问题等价于 $Ax=\beta$ 是否有解。根据非齐次线性方程组的有解判定：

$$Ax=\beta\text{ 有解} \iff r(A)=r(A,\beta).$$

因此得到上述结论。

适用条件： $\alpha_1,\ldots,\alpha_m$ 与 $\beta$ 必须是同维列向量，才能组成增广矩阵。

例

设

$$\alpha_1=(1,0,1)^T, \qquad \alpha_2=(0,1,1)^T, \qquad \beta=(3,4,7)^T.$$

观察第三个分量可知

$$\beta=3\alpha_1+4\alpha_2.$$

Wolfram 验证系数矩阵与增广矩阵的秩均为 $2$，并求得一组表示系数 $(3,4)^T$。

下图由 Wolfram 按 $\alpha_1=(1,0)^T$、$\alpha_2=(0,1)^T$ 和 $\beta=3\alpha_1+4\alpha_2$ 实际绘制。虚线标出 $\beta$ 的两个坐标分量，说明线性表示就是在给定生成向量下寻找坐标。

图像展示的是二维特例；一般结论仍由方程 $Ax=\beta$ 的有解条件 $r(A)=r(A,\beta)$ 保证。

三、线性相关、线性无关与两个基本判定

1. 线性相关

对于向量组 $\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_m$，若存在一组不全为零的数 $k_1,k_2,\ldots,k_m$，使得线性组合

$$k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_m\alpha_m=0,$$

则称向量组 $\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_m$ 线性相关。

若某个系数 $k_i\ne0$，便可以把对应向量 $\alpha_i$ 单独移到等号一侧，从而用其余向量线性表示 $\alpha_i$。例如 $k_m\ne0$ 时，

$$\alpha_m =-\frac{k_1}{k_m}\alpha_1 -\frac{k_2}{k_m}\alpha_2 -\cdots- \frac{k_{m-1}}{k_m}\alpha_{m-1}.$$

因此，含有零向量或含有成比例向量的向量组一定线性相关。

2. 线性无关

若不存在不全为零的 $k_1,k_2,\ldots,k_m$ 使

$$k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_m\alpha_m=0,$$

即只有当

$$k_1=k_2=\cdots=k_m=0$$

时上式才成立，则称向量组 $\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_m$ 线性无关。

单个非零向量线性无关；两个不成比例的非零向量线性无关。这里等号右端的 $0$ 是与 $\alpha_i$ 同维的零向量。

3. 线性相关的充要条件

对于含有不少于两个向量的向量组 $\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_m$，有：

$$\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_m\text{ 线性相关}$$

的充要条件是：向量组中至少有一个向量可由其余 $m-1$ 个向量线性表示。

其等价命题为：

$$\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_m\text{ 线性无关}$$

的充要条件是其中任意一个向量都不能由其余 $m-1$ 个向量线性表示。

4. 向量 $\beta$ 可由向量组线性表示的判定

向量 $\beta$ 可由向量组 $\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_s$ 线性表示，等价于非齐次线性方程组

$$(\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_s) \begin{pmatrix} x_1\\x_2\\\vdots\\x_s \end{pmatrix} =\beta$$

有解，也等价于

$$r(\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_s) =r(\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_s,\beta).$$

5. 向量组线性相关的秩判定

向量组 $\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_s$ 线性相关，等价于齐次线性方程组

$$(\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_s) \begin{pmatrix} x_1\\x_2\\\vdots\\x_s \end{pmatrix} =0$$

有非零解，也等价于

$$r(\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_s)<s.$$

相应地，向量组线性无关当且仅当

$$r(\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_s)=s,$$

即该向量组列满秩。若这些向量均为 $n$ 维列向量，则列满秩还要求 $s\le n$。

6. 两个常用推论

推论 1： $n$ 个 $n$ 维向量 $\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_n$ 线性相关的充要条件是

$$|\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_n|=0.$$

适用条件： 行列式判据只适用于向量个数与维数相同、能够组成方阵的情况。

推论 2： $n+1$ 个 $n$ 维向量一定线性相关。因为把它们组成 $n\times(n+1)$ 矩阵后，有

$$r(A)\le n<n+1,$$

所以矩阵不可能列满秩。

Wolfram 绘制的第一张图对照了二维中的线性无关与线性相关：左侧两个不共线向量的秩为 $2$，右侧两个成比例向量的秩为 $1$。

第二张图取

$$\alpha_1=(1,0,0)^T, \qquad \alpha_2=(0,1,0)^T, \qquad \alpha_3=(1,1,0)^T.$$

由于 $\alpha_3=\alpha_1+\alpha_2$，所以三个向量线性相关。Wolfram 验证其列矩阵的秩为 $2$，零空间包含关系系数 $(-1,-1,1)^T$。

图像只用于理解；一般性结论仍应使用线性方程组或秩严格判定。

四、部分组与整体组

定理 1：部分组相关，则整体组相关

若向量组 $\alpha_1,\ldots,\alpha_r$ 线性相关，则存在不全为零的 $k_1,\ldots,k_r$，使

$$k_1\alpha_1+\cdots+k_r\alpha_r=0.$$

把整体组中其余向量的系数全部取为零，便得到整体组的一个非零系数组合：

$$k_1\alpha_1+\cdots+k_r\alpha_r +0\alpha_{r+1}+\cdots+0\alpha_m=0.$$

所以整体组线性相关。

定理 2：整体组无关，则任意部分组无关

这是定理 1 的逆否命题，因此必然成立。

容易误用的逆命题

“整体组相关，则任意部分组相关”是错误的。

反例仍取

$$\alpha_1=(1,0,0)^T, \quad \alpha_2=(0,1,0)^T, \quad \alpha_3=(1,1,0)^T.$$

整体组的秩为 $2<3$，所以相关；但部分组 $\alpha_1,\alpha_2$ 的秩为 $2$，等于向量个数，所以该部分组线性无关。Wolfram 对两个秩的计算分别得到 $2$ 和 $2$，验证了这个反例。

下图左侧先给出一组成比例的相关向量，右侧再加入一个新方向。原来的非零相关系数仍然成立，只需把新增向量的系数取零，因此整体组不可能恢复线性无关。

五、延伸组与缩短组

设

$$\alpha_i=(a_{1i},a_{2i},\ldots,a_{ri})^T,$$

在每个向量后增加相同数量的分量，得到 $s$ 维向量 $\widetilde\alpha_i$，其中 $s>r$，则 $\widetilde\alpha_1,\ldots,\widetilde\alpha_m$ 称为原向量组的延伸组；反向删去若干分量得到缩短组。

定理

$$\text{缩短组线性无关} \Longrightarrow \text{延伸组线性无关},$$ $$\text{延伸组线性相关} \Longrightarrow \text{缩短组线性相关}.$$

第二条是第一条的逆否命题。

推导

若延伸组存在

$$k_1\widetilde\alpha_1+\cdots+k_m\widetilde\alpha_m=0,$$

则只观察保留下来的那些分量，必有

$$k_1\alpha_1+\cdots+k_m\alpha_m=0.$$

若缩短组线性无关，则只能有 $k_1=\cdots=k_m=0$，所以延伸组也线性无关。

两个反向结论均不成立

1. 缩短组相关，延伸组未必相关。 二维向量 $(1,0)^T,(0,1)^T$ 线性无关；删去第二个分量后得到一维向量 $1,0$，缩短组含零向量，线性相关。
2. 延伸组无关，缩短组未必无关。 这正是同一个例子从反方向阅读。

Wolfram 验证原二维矩阵的秩为 $2$，缩短后矩阵的秩为 $1<2$。

下图实际画出这个反例：延伸组 $(1,0)^T,(0,1)^T$ 在二维中线性无关；删除第二坐标后变成一维向量 $1,0$，其中出现零向量，缩短组线性相关。

图中反例只用于否定错误逆命题；“缩短组无关推出延伸组无关”的正确结论仍由逐分量方程严格证明。

六、线性相关、线性表示与表示唯一性

定理 3.5：线性相关与“至少一个向量可被表示”

如果 $\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_s\ (s\ge2)$ 线性相关，则其中必有一个向量可用其余向量线性表示；反之，若有一个向量可用其余 $s-1$ 个向量线性表示，则这 $s$ 个向量必线性相关。

也就是说，

$$\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_s\text{ 线性相关}$$

当且仅当其中至少有一个向量能够由其余向量线性表示。

推导

若向量组线性相关，则存在不全为零的 $k_1,k_2,\ldots,k_s$，使

$$k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_s\alpha_s=0.$$

至少有一个系数 $k_j\ne0$，于是

$$\alpha_j =-\sum_{i\ne j}\frac{k_i}{k_j}\alpha_i,$$

故 $\alpha_j$ 可由其余向量表示。反之，把“某个向量可由其余向量表示”的等式移到一边，就得到一组不全为零的系数使线性组合等于零，因此向量组线性相关。

定理 3.6：线性无关组表示的唯一性

如果 $\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_s$ 线性无关，且 $\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_s,\beta$ 线性相关，则 $\beta$ 可由 $\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_s$ 线性表示，并且表示法唯一。

这里有两个条件：

1. $\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_s$ 线性无关；
2. 加入 $\beta$ 后，$\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_s,\beta$ 线性相关。

由定理 3.5，第二个条件说明扩充组中至少有一个向量可由其余向量表示。由于 $\alpha_1,\ldots,\alpha_s$ 本身线性无关，能够被其余向量表示的只能是 $\beta$，所以 $\beta$ 可由 $\alpha_1,\ldots,\alpha_s$ 线性表示。

若存在两种表示

$$\beta=k_1\alpha_1+\cdots+k_s\alpha_s =l_1\alpha_1+\cdots+l_s\alpha_s,$$

两式相减得

$$(k_1-l_1)\alpha_1+\cdots+(k_s-l_s)\alpha_s=0.$$

由 $\alpha_1,\ldots,\alpha_s$ 线性无关，必有 $k_i=l_i$，所以表示法唯一。

适用条件： 缺少“原向量组线性无关”时，$\beta$ 的表示可能不唯一；缺少“扩充组线性相关”时，$\beta$ 可能根本不能由原向量组表示。

Wolfram 绘制的左图含有冗余生成向量 $v_3=v_1+v_2$，右图只保留线性无关的基向量。相关组中的冗余关系会带来不同表示；线性无关组下，同一向量的表示唯一。

七、两个向量组之间的线性表示与秩

定理 3.7：多数向量由少数向量表示

如果向量组 $\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_s$ 可由向量组 $\beta_1,\beta_2,\ldots,\beta_t$ 线性表示，而且 $s>t$，那么 $\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_s$ 线性相关。

即：如果多数向量能用少数向量线性表示，那么多数向量一定线性相关。可以简记为：

多被少表，多必相关。

推论

如果 $\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_s$ 线性无关，且它可由 $\beta_1,\beta_2,\ldots,\beta_t$ 线性表示，则

$$s\le t.$$

这是定理 3.7 的逆否命题：若 $s>t$，则 $\alpha$ 组必线性相关；所以 $\alpha$ 组线性无关时，只能有 $s\le t$。

定理 3.8：秩的单调性

设 $\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_s$ 可由 $\beta_1,\beta_2,\ldots,\beta_t$ 线性表示，则

$$r(\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_s) \le r(\beta_1,\beta_2,\ldots,\beta_t).$$

可以记为：低维空间中的向量无法表示出更高维的空间。

下图把“$\alpha$ 组可由 $\beta$ 组表示”画成张成空间的包含关系。所有 $\alpha$ 向量均位于 $\operatorname{span}(\beta_1,\ldots,\beta_t)$ 内，因此 $\alpha$ 组的秩不可能超过 $\beta$ 组的秩。

椭圆只是集合包含示意，并非向量空间的真实边界；严格结论来自秩不等式。

八、极大线性无关组与向量组的秩

定义 3.5：极大线性无关组

在向量组 $\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_s$ 中，若存在 $r$ 个向量

$$\alpha_{i_1},\alpha_{i_2},\ldots,\alpha_{i_r}$$

线性无关，再加入任意一个向量 $\alpha_j\ (j=1,2,\ldots,s)$ 后，向量组

$$\alpha_{i_1},\alpha_{i_2},\ldots,\alpha_{i_r},\alpha_j$$

都线性相关，则称 $\alpha_{i_1},\alpha_{i_2},\ldots,\alpha_{i_r}$ 是向量组 $\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_s$ 的一个极大线性无关组。

“极大”表示已经不能再从原向量组中加入新向量并保持线性无关，不表示向量长度最大，也不表示极大线性无关组唯一。

定义 3.6：向量组的秩

向量组 $\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_s$ 的极大线性无关组中所含向量的个数 $r$，称为这个向量组的秩：

$$r(\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_s)=r.$$

同一个向量组可以有不同的极大线性无关组，但每个极大线性无关组所含向量的个数相同。

下图中蓝色、绿色向量组成一个极大线性无关组；红色和紫色向量都能由前两者线性表示，加入任意一个都会使向量组线性相关。因此该向量组的秩为 $2$。

图中的极大线性无关组不是唯一选择；保持不变的是其中向量的个数，也就是向量组的秩。

九、$Ax=0$ 与 $A^TAx=0$ 同解

1. 方程组中的向量一律按列向量处理

第四章方程组、第六章二次型中的向量 $x$ 均为列向量。若

$$A_{m\times n},\qquad x_{n\times1},$$

则矩阵乘法 $Ax$ 有意义，并且

$$(Ax)_{m\times1},$$

所以 $Ax$ 仍为列向量。同理，只要矩阵的列数与 $x$ 的行数相等，$Bx$ 也仍为列向量。

适用条件： 矩阵与向量相乘必须满足“前者的列数等于后者的行数”。本节中的 $x$ 均按列向量理解。

2. 数字 $0$ 与零向量 $0$ 的辨别

符号 $0$ 有时表示数字 $0$，有时表示零向量。判断时要看等号另一侧的对象：

• 在 $\alpha^T\alpha=0$ 与 $a_1^2+\cdots+a_n^2=0$ 中，左侧是一个数，因此右侧的 $0$ 是数字 $0$；
• 在 $\alpha=0$ 中，左侧是向量，因此右侧的 $0$ 是与 $\alpha$ 同维的零向量；
• 在齐次方程组 $Ax=0$ 中，$Ax$ 是 $m$ 维列向量，因此右侧的 $0$ 是 $m$ 维零向量。

也就是说，等式两端的类型和维数必须一致，不能把数字 $0$ 与零向量混为一谈。

3. 线性无关与列满秩

把列向量组 $\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_s$ 依次排成矩阵

$$A=(\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_s).$$

则

$$\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_s\text{ 线性无关} \iff r(A)=s,$$

即该向量组线性无关等价于矩阵 $A$ 列满秩。

这里隐含了必要条件“列数不超过行数”。若 $A$ 为 $m\times s$ 矩阵且 $s>m$，则

$$r(A)\le m<s,$$

矩阵不可能列满秩，因而这 $s$ 个 $m$ 维列向量必线性相关。

适用条件： “列满秩”是指矩阵的秩等于列数；它不要求矩阵是方阵，但必然要求列数不超过行数。

4. $Ax=0\Rightarrow A^TAx=0$

设 $A$ 为实矩阵，$x$ 为列向量。

若 $Ax=0$，左乘 $A^T$，立即得到

$$A^TAx=A^T0=0.$$

5. $A^TAx=0\Rightarrow Ax=0$

若 $A^TAx=0$，左乘 $x^T$：

$$x^TA^TAx=0.$$

注意

$$x^TA^TAx=(Ax)^T(Ax)=\|Ax\|^2.$$

由实向量的平方和性质，

$$\|Ax\|^2=0\iff Ax=0.$$

所以

$$Ax=0 \quad\text{与}\quad A^TAx=0$$

同解。

适用条件： 这里讨论实矩阵。复矩阵应把 $A^T$ 改为共轭转置 $A^H$。

Wolfram 取

$$A= \begin{pmatrix} 1&2&3\\ 2&4&6 \end{pmatrix}$$

验证得到 $A$ 与 $A^TA$ 的零空间完全相同，一组基础解系为

$$(-3,0,1)^T, \qquad (-2,1,0)^T.$$

这是具体矩阵的符号验证；上面的模长论证才是对任意实矩阵的严格证明。

十、常见易错点

1. 线性相关定义中的系数是“不全为零”，不是“全部不为零”。
2. $Ax=0$ 右边的 $0$ 是零向量，其维数由 $A$ 的行数决定。
3. 整体相关不能推出任意部分组相关；整体无关才能推出任意部分组无关。
4. 延伸组无关不能推出缩短组无关；缩短可能丢失区分向量的关键分量。
5. 行列式判据只适用于方阵；一般情况使用秩判据。
6. 向量组列满秩要求“列数不超过行数”。若列数大于行数，必线性相关。
7. “可由某无关组表示”才能保证表示唯一；相关组中的表示通常不唯一。
8. 极大线性无关组不一定唯一，但其中向量的个数一定等于向量组的秩。

十一、Wolfram 验证记录

本节只记录机器核验的对象，不用机器输出代替手算推导。

验证对象	Wolfram 操作	结果
$(1,2,3)^T$ 的模长	Dot、Normalize	$\|\alpha\|=\sqrt{14}$
三向量 $e_1,e_2,e_1+e_2$	MatrixRank、NullSpace	秩为 $2$，关系系数 $(-1,-1,1)^T$
$e_1,e_2$ 部分组	MatrixRank	秩为 $2$，线性无关
$\beta=3\alpha_1+4\alpha_2$	LinearSolve、增广矩阵秩	两个秩均为 $2$，系数为 $(3,4)^T$
三个二维向量	MatrixRank、NullSpace	秩为 $2<3$，必线性相关
$Ax=0$ 与 $A^TAx=0$	两次 NullSpace	两个零空间完全相同
三维相关向量图	Graphics3D、Export	PNG 已写入博客图片目录

这些属于精确符号验证，不是浮点数值实验。三维图属于几何可视化，只帮助理解，不参与定理证明。