第一，验证它们是 $Ax=0$ 的解：

同理，$A(\alpha_1-\alpha_3)=0$。

第二，证明二者线性无关。由

左侧前一个矩阵列满秩，秩不变，故

所以 $\alpha_1-\alpha_2$ 与 $\alpha_1-\alpha_3$ 线性无关。

第三，确定基础解系所含向量个数。因为 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ 是 $Ax=b$ 的 $3$ 个线性无关的解向量，所以 $Ax=b$ 至少有 $3$ 个线性无关的解向量，即

这里 $n=3$，故 $r(A)\le1$。又因 $A\ne0$，所以 $r(A)=1$。因此 $Ax=0$ 的基础解系中有

个线性无关的解向量。综上，$\alpha_1-\alpha_2,\alpha_1-\alpha_3$ 是 $Ax=0$ 的基础解系。

实际上，$\alpha_1-\alpha_2,\alpha_1-\alpha_3,\alpha_2-\alpha_3$ 这三个向量中任选两个，即可作为 $Ax=0$ 的基础解系。此结论可作为基本定理使用。

$Ax=0$ 的任意两个解均线性相关，等价于该方程组的基础解系中仅包含一个解向量。由于 $A$ 是 $3\times4$ 矩阵，故必须有

对 $A$ 作初等变换：

由此可见 $r(A)\ge2$。当且仅当

时，$r(A)=2$，即 $\lambda=-2$ 时 $r(A)=2<3$；$\lambda$ 取其他值时，$r(A)=3$。

因此，$\lambda=-2$ 不能使 $Ax=0$ 的任意两个解均线性相关，应选 A。

本题主要考查非齐次线性方程组解的结构，需把握两点：

1. 非齐次线性方程组 $Ax=\beta$ 的通解由其对应的齐次线性方程组 $Ax=0$ 的通解加上一个特解构成；
2. 若 $x=\eta_1,x=\eta_2$ 都是 $Ax=\beta$ 的解，则 $x=\eta_1-\eta_2$ 为对应齐次线性方程组 $Ax=0$ 的解。

由于 $Ax=\beta$ 为非齐次线性方程组，故 $\beta\ne0$，从而 $A\ne0$，即 $r(A)\ge1$。于是 $Ax=0$ 的基础解系里最多只含有 $2$ 个线性无关的解。

又由于 $\eta_1,\eta_2,\eta_3$ 是 $Ax=\beta$ 的 $3$ 个线性无关的解，故 $\eta_2-\eta_1,\eta_3-\eta_1$ 为 $Ax=0$ 的解且线性无关。因此 $r(A)\le1$，从而 $r(A)=1$，$Ax=0$ 的通解为

其中 $k_1,k_2$ 为任意常数。

又因为

所以 $\dfrac{\eta_2+\eta_3}{2}$ 为 $Ax=\beta$ 的一个特解。因此通解为

其中 $k_1,k_2$ 为任意常数，应选 C。

选项 A、B 中的齐次部分只包含一个向量，不是基础解系；选项 D 中 $\dfrac{\eta_2-\eta_3}{2}$ 是 $Ax=0$ 的解，不是 $Ax=\beta$ 的特解。

由线性方程组解的性质可知，

是齐次线性方程组 $Ax=0$ 的解。代入该方程组可得

于是

解得 $a=1,b=2$。因此

计算可得

故右端向量 $b=(0,1,-1)^T$，选项 A 正确。

由于

而后一个向量是 $Ax=0$ 的解，所以 $(0,0,-1)^T$ 也是 $Ax=b$ 的解，选项 B 正确。

由于 $Ax=0$ 有非零解，$A$ 不可逆，故 $0$ 是 $A$ 的一个特征值，选项 C 正确。

$A$ 有非零二阶子式

故 $r(A)\ge2$；结合前面的分析可知 $r(A)\le2$，所以 $r(A)=2$。三阶矩阵满足 $r(A^*)=1$，因此选项 D 不正确。

综上所述，应选 D。

从方程组 $Ax=b$ 的通解中挖掘信息：

并有向量等式

因为

所以方程组 $Bx=0$ 的基础解系含有 $4-2=2$ 个向量。由式（1）（2）可得

于是，$Bx=0$ 的基础解系为

式（2）也可改写为

所以 $Bx=b$ 的一个特解为 $(-3,2,0,0)^T$，其通解可写为

下面逐项检查式（3）的特解是否正确。选项 A 显然正确；当 $k_1=0,k_2=-1$ 时，式（3）的特解为 $(0,0,-1,1)^T$，选项 B 正确；当 $k_1=1,k_2=-2$ 时，式（3）的特解为 $(5,3,-3,2)^T$，选项 C 也正确。针对选项 D 的特解 $(-3,1,2,5)^T$，方程（3）无解，因此选项 D 错误。

故选 D。

秘籍：已知 $Ax=\beta$ 的通解为 $k_1\xi_1+k_2\xi_2+\eta$。若同时满足：①向量组 $\xi_1,\xi_2$ 与 $\alpha_1,\alpha_2$ 等价；②方程组 $x_1\xi_1+x_2\xi_2+\eta=\gamma$ 有解，则 $k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\gamma$ 也是 $Ax=\beta$ 的通解。

正交矩阵满足

因此 $A$ 的列向量都是单位向量，且两两正交，即

先求 $Bx=0$ 的解。$B$ 是 $3\times4$ 矩阵，且 $r(B)=3$，所以 $Bx=0$ 的基础解系中含有 $4-3=1$ 个解向量。由

可知，$\alpha_4$ 是 $Bx=0$ 的解。因此 $Bx=0$ 的通解为 $k\alpha_4$，其中 $k$ 为任意常数。

再求一个特解。由正交性，

所以 $\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3$ 是 $Bx=\beta$ 的一个特解。故通解为

其中 $k$ 为任意常数。

$A$ 的行向量组线性无关，即 $A$ 行满秩，所以

分析结论①：因为 $r(A)=3<4$，所以方程组 $Ax=0$ 有非零解。

分析结论②：因为 $r(A)=r(A^T)=3$，而 $A^T$ 有 $3$ 列，所以方程组 $A^Tx=0$ 只有零解。

分析结论③：因为

所以方程组 $A^TAx=0$ 有非零解。

分析结论④：因为

而 $AA^T$ 是三阶方阵，所以方程组 $AA^Tx=b$ 有唯一解。

分析结论⑤：因为

所以 $r(A,b)=r(A)=3<4$，方程组 $Ax=b$ 有无穷多解。

分析结论⑥：该结论不一定成立。举反例，设

则方程组 $A^Tx=c$ 无解。

综上，只有①②③④⑤正确，应选 C。

$Ax=0$ 的解是 $Bx=0$ 的解，等价于 $A$ 的行向量可以表示 $B$ 的行向量，因而

所以，若 $r(A)=r(B)$ 且 $Ax=0$ 的解是 $Bx=0$ 的解，则

从而 $Ax=0$ 和 $Bx=0$ 同解。

反之，若 $Ax=0$ 和 $Bx=0$ 同解，则两者的行向量组等价，故 $r(A)=r(B)$，且 $Ax=0$ 的每一个解当然也是 $Bx=0$ 的解。

首先，

其次，$Ax=\alpha$ 和 $Bx=\beta$ 有公共解，等价于联立方程组

有解，即

因此，上述两个条件合起来等价于

又因为 $Ax=\alpha$ 和 $Bx=\beta$ 均有解，所以

故上述条件等价于

即增广矩阵 $(A,\alpha)$ 和 $(B,\beta)$ 的行向量组等价，也就是 $Ax=\alpha$ 和 $Bx=\beta$ 同解。

本题主要考查齐次线性方程组的解与行列式。

已知方程组 $A^2x=0$ 与 $Ax=0$ 不同解，要求 $a-b$，不需要计算 $A^2$，再对 $A$ 与 $A^2$ 作初等行变换来求解。由条件 $A^2x=0$ 与 $Ax=0$ 不同解，可以得到 $A$ 不可逆这一信息，从而由 $|A|=0$ 得到 $a-b$。

若 $A$ 可逆，则 $A^2$ 也可逆，从而方程组 $A^2x=0$ 与 $Ax=0$ 均只有零解，二者同解，这与题设矛盾。因此 $A$ 不可逆，即

计算行列式：

又因为 $|A|=0$，所以

注意到 $A$ 有二阶非零子式

故 $r(A)\ge2$。结合 $A$ 不可逆可得 $r(A)=2$。

原题答案为

资料随后将题目改为“求解 $a$ 和 $b$ 的值”，并给出以下进一步分析。

由 $Ax=0$，两端左乘 $A$ 可得 $A^2x=0$，所以 $Ax=0$ 的解一定是 $A^2x=0$ 的解。由例 4.17 可知，在这一前提下，

取逆否命题可得

又因为矩阵相乘时秩不可能越来越大，$r(A)\ge r(A^2)$，所以题设等价于

若 $r(A)=3$，则 $A$ 可逆，秩不变，有 $r(A^2)=r(A)=3$，不满足题意。因此 $A$ 一定不满秩。令 $|A|=0$，计算得

代入可得

此时第三行等于第一行加第二行，且第一行与第二行显然不成比例，所以 $r(A)=2$。于是 $r(A^2)<2$，即 $r(A^2)=0$ 或 $1$。计算得

$A^2$ 有非零元素，所以 $A^2$ 不是零矩阵，故 $r(A^2)=1$。这意味着 $A^2$ 的所有行都成比例。令第一行和第二行成比例，可解得 $a=5$ 或 $a=6$。

当 $a=5$ 时，

所有行都成比例，符合题意；当 $a=6$ 时，

不满足所有行成比例，应舍去。所以 $a=5$，结合 $b=a+4$ 得 $b=9$。

因此，修改版题目的最终结果为