矩阵迹的计算

题目

设 $A$ 是 3 阶矩阵，$\alpha$ 是满足 $A\alpha = 0$ 的非零向量。若对满足 $\beta^T\alpha = 0$ 的 3 维列向量 $\beta$，均有 $A\beta = \beta$，则（ ）

(A) $A^3$ 的迹为 2 (B) $A^3$ 的迹为 5 (C) $A^2$ 的迹为 8 (D) $A^2$ 的迹为 9

考点

• 特征值与特征向量的定义
• 矩阵的秩与齐次线性方程组解的关系
• 矩阵迹的性质

解答

答案：A

解析： 本题主要考查矩阵的特征值与矩阵的迹。由于矩阵的迹等于矩阵的特征值之和，故要求 $A^3$ 或者 $A^2$ 的迹，可以先求得 $A$ 的特征值，由此得到 $A^2$ 或者 $A^3$ 的特征值。

1. 确定特征值 0： 由 $\alpha$ 是满足 $A\alpha = 0$ 的非零向量可知，$A$ 有一个属于特征值 0 的特征向量 $\alpha$。

2. 确定特征值 1： 满足 $\beta^T\alpha = 0$ 的向量 $\beta$ 也满足 $\alpha^T\beta = 0$，从而是从 $\alpha^T x = 0$ 的解。由于该方程组的系数矩阵的秩为 1，故该方程组有两个线性无关的解。于是，存在两个线性无关的向量 $\beta_1, \beta_2$，使得 $\alpha^T\beta_i = 0$ ($i=1, 2$)，即 $\beta_i^T\alpha = 0$ ($i=1, 2$)。结合满足 $\beta^T\alpha = 0$ 的向量均满足 $A\beta = \beta$ 可知，$A\beta_1 = \beta_1, A\beta_2 = \beta_2$，故 $\beta_1, \beta_2$ 是 $A$ 的属于特征值 1 的两个线性无关的特征向量。

3. 计算迹： 由于属于不同特征值的特征向量线性无关，故 $\alpha, \beta_1, \beta_2$ 是 $A$ 的三个线性无关的特征向量。又因为 $A$ 是 3 阶矩阵，所以 $A$ 的特征值为 1, 1, 0。进一步可得 $A^2, A^3$ 的特征值均为 1, 1, 0，从而 $\text{tr}(A^2) = \text{tr}(A^3) = 1 + 1 + 0 = 2$。

因此，应选 A。