证明向量组的线性相关性与线性无关性

题目

设四维列向量 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 线性无关，且与四维非零列向量 $\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2$ 均正交，证明： (1) $\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2$ 线性相关；

(2) $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3, \boldsymbol{\beta}_1$ 线性无关。

考点

• 利用正交条件构造齐次线性方程组
• 利用秩的性质判断向量组的线性相关性
• 利用线性无关的定义进行证明

解答

证明：

(1) 利用秩的性质证明

设矩阵 $A = \begin{bmatrix} \boldsymbol{\alpha}_1^T \\ \boldsymbol{\alpha}_2^T \\ \boldsymbol{\alpha}_3^T \end{bmatrix}$，则 $A$ 是一个 $3 \times 4$ 的矩阵。 由于 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 线性无关，故矩阵 $A$ 的秩 $r(A) = 3$。

因为 $\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2$ 与 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 均正交，即 $\boldsymbol{\alpha}_i^T \boldsymbol{\beta}_j = 0$ ($i=1,2,3; j=1,2$)，所以有： $A\boldsymbol{\beta}_j = \begin{bmatrix} \boldsymbol{\alpha}_1^T \\ \boldsymbol{\alpha}_2^T \\ \boldsymbol{\alpha}_3^T \end{bmatrix} \boldsymbol{\beta}_j = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}, \quad j=1,2$ 这说明 $\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2$ 都是齐次线性方程组 $A\boldsymbol{x} = \boldsymbol{0}$ 的解。

根据线性方程组解的性质，解空间的维数为 $n - r(A)$，其中 $n=4$ 为未知数个数（向量维数）。因此，基础解系所含向量个数为 $4 - 3 = 1$。

由于 $\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2$ 均为该方程组的解，它们可由基础解系线性表示，故向量组 $\{\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2\}$ 的秩满足： $r(\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2) \le n - r(A) = 1$ 因为 $r(\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2) < 2$（向量个数为2），所以 $\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2$ 线性相关。

(2) 利用定义法证明

设有常数 $k_1, k_2, k_3, k$ 使得： $k_1\boldsymbol{\alpha}_1 + k_2\boldsymbol{\alpha}_2 + k_3\boldsymbol{\alpha}_3 + k\boldsymbol{\beta}_1 = \boldsymbol{0} \quad \cdots\cdots ①$

用 $\boldsymbol{\beta}_1^T$ 左乘等式 ① 两边： $\boldsymbol{\beta}_1^T(k_1\boldsymbol{\alpha}_1 + k_2\boldsymbol{\alpha}_2 + k_3\boldsymbol{\alpha}_3 + k\boldsymbol{\beta}_1) = \boldsymbol{\beta}_1^T \boldsymbol{0}$ 展开得： $k_1(\boldsymbol{\beta}_1^T\boldsymbol{\alpha}_1) + k_2(\boldsymbol{\beta}_1^T\boldsymbol{\alpha}_2) + k_3(\boldsymbol{\beta}_1^T\boldsymbol{\alpha}_3) + k(\boldsymbol{\beta}_1^T\boldsymbol{\beta}_1) = 0$

已知 $\boldsymbol{\beta}_1$ 与 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 正交，故 $\boldsymbol{\beta}_1^T\boldsymbol{\alpha}_i = 0$ ($i=1,2,3$)。又因为 $\boldsymbol{\beta}_1$ 是非零向量，所以 $\boldsymbol{\beta}_1^T\boldsymbol{\beta}_1 = |\boldsymbol{\beta}_1|^2 \neq 0$。

代入上式化简得： $0 + 0 + 0 + k|\boldsymbol{\beta}_1|^2 = 0 \implies k = 0$

将 $k=0$ 代回原方程 ①，得： $k_1\boldsymbol{\alpha}_1 + k_2\boldsymbol{\alpha}_2 + k_3\boldsymbol{\alpha}_3 = \boldsymbol{0}$

因为已知 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 线性无关，根据线性无关的定义，必有： $k_1 = 0, \quad k_2 = 0, \quad k_3 = 0$

综上所述，当 $k_1=k_2=k_3=k=0$ 时，等式成立，故向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3, \boldsymbol{\beta}_1$ 线性无关。