重要矩阵、满秩条件与矩阵幂

来源：邂逅遗憾 26 考研数学思维课（数一）整理。

本文将重要矩阵、满秩条件与矩阵幂合并整理，保留原稿中的核心结论、证明过程和帮助理解结论的小例子，不展开整理完整例题。

一、实矩阵、零矩阵与可逆矩阵

1. 实矩阵的定义与特征值

所有元素均为实数的矩阵称为实矩阵。考研数学讨论的矩阵通常都是实矩阵，不考虑矩阵元素本身为复数的情况。

实矩阵的特征值不一定都是实数，但实矩阵的非实特征值一定成共轭对出现。若

$$\lambda=a+bi$$

为特征值，则

$$\overline\lambda=a-bi$$

也必为特征值。

证明： 实矩阵 $A$ 的特征多项式 $|\lambda E-A|$ 的系数均为实数。实系数多项式的非实根必成共轭对出现，因此 $a+bi$ 与 $a-bi$ 同为 $A$ 的特征值。

2. 零矩阵的秩判定

所有元素均为零的矩阵称为零矩阵，记作 $O$。对于任意矩阵 $A$，

$$A=O\iff r(A)=0.$$

证明： $A=O$ 时不存在非零行或非零列，所以 $r(A)=0$；反之，$r(A)=0$ 说明 $A$ 中没有任何非零元素，故 $A=O$。

3. 零矩阵的迹判定

设 $A$ 为任意实矩阵，则有两个重要的充要条件：

$$A=O\iff \operatorname{tr}(AA^T)=0,$$

以及

$$A=O\iff \operatorname{tr}(A^TA)=0.$$

证明：

$$\operatorname{tr}(AA^T) =\operatorname{tr}(A^TA) =\sum_{i,j}a_{ij}^2.$$

由于 $A$ 是实矩阵，每个 $a_{ij}^2\ge0$。若平方和为零，则每一项都必须为零，所以 $A=O$。这也可统一写成

$$A=O\iff \lVert A\rVert_F=0.$$

必须注意：$\operatorname{tr}(A)=0$ 不能推出 $A=O$；$AB=O$ 也不能直接推出 $A=O$ 或 $B=O$。

4. 可逆矩阵的等价条件

对 $n$ 阶方阵 $A$，下列条件等价：

$$A\text{ 可逆} \iff |A|\ne0 \iff r(A)=n \iff Ax=0\text{ 只有零解}.$$

若 $A$ 可逆，则

$$A^{-1}=\frac1{|A|}A^*,$$

并且

$$AA^{-1}=A^{-1}A=E, \qquad AA^*=A^*A=|A|E.$$

证明： $|A|\ne0$ 时，伴随矩阵公式给出 $A^{-1}=|A|^{-1}A^*$，所以 $A$ 可逆。反过来，若 $A$ 可逆，则 $|A||A^{-1}|=1$，故 $|A|\ne0$。而 $|A|\ne0\iff r(A)=n\iff Ax=0$ 只有零解，分别来自行列式、秩与齐次方程组的基本结论。

二、可交换矩阵

1. 可交换矩阵的定义

一般而言，矩阵乘法不满足交换律，通常有

$$AB\ne BA.$$

例如

$$(A+B)(A-B)=A^2-AB+BA-B^2,$$

只有在 $AB=BA$ 时，才能化为

$$(A+B)(A-B)=A^2-B^2.$$

若 $AB=BA$，则称矩阵 $A,B$ 可交换。考研真题不仅可能直接给出 $AB=BA$，也可能给出其他条件，要求反推出 $AB=BA$。

2. 可交换矩阵的条件

2.1 零矩阵、数量矩阵与对角矩阵

设 $A,B$ 均为 $n$ 阶方阵，下列任一条件都能推出 $AB=BA$：

1. 至少一个矩阵为零矩阵。
2. 至少一个矩阵为数量矩阵。例如 $B=kE$ 时，$AB=BA=kA$。
3. 两个矩阵均为对角矩阵。

证明： 零矩阵与任意同阶矩阵相乘仍为零矩阵；数量矩阵 $kE$ 与任意同阶矩阵相乘均为 $kA$；两个对角矩阵相乘时，只需逐个相乘主对角元素，交换次序不改变结果。

2.2 一个矩阵是另一个矩阵的函数

若

$$B=f(A),$$

其中 $f(A)$ 表示 $A^k$、$A^{-1}$、$A^*$ 等矩阵的线性组合，则 $A$ 与 $B$ 可交换。

证明： $A$ 与 $A^k$ 显然可交换；当 $A$ 可逆时，$AA^{-1}=A^{-1}A=E$；对于伴随矩阵，无论 $A$ 是否可逆，都有 $AA^*=A^*A=|A|E$。所以 $A^k$、$A^{-1}$、$A^*$ 都与 $A$ 可交换。与 $A$ 可交换的矩阵作线性组合后仍与 $A$ 可交换，因此

$$Af(A)=f(A)A.$$

2.3 乘积为非零数量矩阵

若

$$AB=kE,\qquad k\ne0,$$

则 $AB=BA$。

证明： 由 $AB=kE$ 可知 $A,B$ 均可逆，并且 $B=kA^{-1}$。因此

$$BA=kA^{-1}A=kE=AB.$$

2.4 乘积是两个矩阵的线性组合

若

$$AB=aA+bB,\qquad ab\ne0,$$

则 $AB=BA$。

证明： 将已知条件移项并配成

$$(A-bE)(B-aE)=abE,$$

乘积为非零数量矩阵，所以两个因子可交换，即

$$(A-bE)(B-aE)=(B-aE)(A-bE).$$

展开并约去相同项，得到 $AB=BA$。

2.5 二次式与混合乘积的关系

若

$$A^2+aAB=bE, \qquad a\ne0,\quad b\ne0,$$

则 $AB=BA$。

证明： 原式可写成

$$A(A+aB)=bE.$$

乘积为非零数量矩阵，所以 $A$ 与 $A+aB$ 可交换：

$$A(A+aB)=(A+aB)A.$$

展开并利用 $a\ne0$，得到 $AB=BA$。

三、正交矩阵

1. 正交矩阵的定义与等价条件

设 $A$ 为 $n$ 阶实矩阵。若

$$A^TA=E,$$

则称 $A$ 为正交矩阵。$n$ 阶矩阵 $A$ 是正交矩阵的充要条件是

$$AA^T=E, \qquad A^{-1}=A^T, \qquad A^TA=E.$$

证明： 由 $A^TA=E$ 可知 $A^T$ 是 $A$ 的逆矩阵，所以 $A^{-1}=A^T$，进而 $AA^T=E$。反过来，任取其中任一等式，也能得到其余等式。$A^TA=E$ 表明 $A$ 的列向量两两正交且模长为 $1$；$AA^T=E$ 表明 $A$ 的行向量也具有同样性质。

2. 正交矩阵的封闭性

若 $A$ 为正交矩阵，则 $A^T$、$A^{-1}$、$A^*$ 和 $-A$ 都是正交矩阵；若 $A,B$ 均为同阶正交矩阵，则 $AB$ 为正交矩阵，而 $A+B$ 不一定为正交矩阵。

证明： 因为 $A^{-1}=A^T$，所以 $A^T$ 与 $A^{-1}$ 实为同一矩阵，并且仍满足正交矩阵的定义。又由

$$A^*=|A|A^{-1},\qquad |A|=\pm1,$$

可知 $A^*=\pm A^{-1}$，故 $A^*$ 也正交。对于 $-A$，有 $(-A)^T(-A)=A^TA=E$。对于乘积，

$$(AB)(AB)^T=ABB^TA^T=AA^T=E.$$

但 $(A+B)^T(A+B)$ 中还含有交叉项，一般不等于 $E$。

3. 正交矩阵的行列式

由 $A^TA=E$ 取行列式，得到

$$|A|^2=1,$$

因此

$$|A|=1\text{ 或 }-1.$$

证明：

$$|A^TA|=|A^T||A|=|A|^2=|E|=1,$$

所以正交矩阵的行列式只能为 $1$ 或 $-1$。

4. 正交矩阵的特征值

正交矩阵的特征值模长为 $1$。其实际特征值只能为 $1$ 或 $-1$；非实特征值 $a+bi$ 满足

$$a^2+b^2=1,$$

并且一定成共轭对出现。若正交矩阵的阶数为奇数且行列式小于零，则 $-1$ 必为其特征值。

证明： 设 $Ax=\lambda x$，其中 $x\ne0$。正交变换保持向量长度，因此

$$\lVert x\rVert=\lVert Ax\rVert =\lVert\lambda x\rVert =|\lambda|\lVert x\rVert,$$

从而 $|\lambda|=1$。实特征值只能为 $1$ 或 $-1$；非实特征值满足 $a^2+b^2=1$，且因 $A$ 为实矩阵而成共轭对出现。共轭对的乘积为 $1$，所以奇数阶正交矩阵若行列式为负，实特征值中必有 $-1$。

四、实对称矩阵

1. 实对称矩阵的定义

若

$$A^T=A,$$

即 $a_{ij}=a_{ji}$，则称 $A$ 为实对称矩阵。

2. 特征值为实数

实对称矩阵的特征值均为实数，并且可以取实特征向量。

证明： 设 $Ax=\lambda x$，其中 $x$ 可以是复向量。因为 $A$ 为实对称矩阵，

$$x^*Ax=\lambda x^*x$$

是实数，而 $x^*x>0$，所以 $\lambda$ 必为实数。由于 $A-\lambda E$ 为实矩阵，其齐次方程组可以取非零实解，因此可以取实特征向量。

3. 不同特征值的特征向量正交

设

$$A\alpha=\lambda_1\alpha, \qquad A\beta=\lambda_2\beta, \qquad \lambda_1\ne\lambda_2.$$

则 $\alpha^T\beta=0$。

证明： 一方面，

$$\alpha^TA\beta=\lambda_2\alpha^T\beta;$$

另一方面，由 $A^T=A$，

$$\alpha^TA\beta=(A\alpha)^T\beta =\lambda_1\alpha^T\beta.$$

故 $(\lambda_1-\lambda_2)\alpha^T\beta=0$。因为 $\lambda_1\ne\lambda_2$，所以 $\alpha^T\beta=0$。

4. 正交相似对角化

实对称矩阵可用正交矩阵相似对角化：存在正交矩阵 $Q$，使

$$Q^TAQ=\Lambda.$$

这里 $Q$ 是由 $A$ 的单位正交化特征向量构成的，$\Lambda$ 是由 $A$ 的特征值构成的对角矩阵，且 $Q$ 的每一列与 $\Lambda$ 的每一个主对角元素对应。

证明： 实对称矩阵的 Rayleigh 商在单位球面上能取到最大值，取到最大值的向量就是一个实特征向量。这个特征向量的正交补空间在 $A$ 的作用下保持不变；把 $A$ 限制在该正交补空间上，仍得到实对称线性变换。对阶数作归纳，可得到 $n$ 个两两正交的实特征向量。再把每个特征子空间内的基单位正交化，并将所得单位特征向量依次作为列向量组成 $Q$，则 $Q^TQ=E$，并且 $AQ=Q\Lambda$。两端左乘 $Q^T$，得到 $Q^TAQ=\Lambda$。

5. 用正交特征向量判定实对称矩阵

$n$ 阶实矩阵 $A$ 是实对称矩阵的充要条件是：$A$ 有 $n$ 个两两正交的实特征向量。

证明： 必要性由正交相似对角化结论得到。充分性方面，将这 $n$ 个特征向量单位化并组成正交矩阵 $Q$，则

$$A=Q\Lambda Q^T.$$

由于 $\Lambda^T=\Lambda$，所以

$$A^T=(Q\Lambda Q^T)^T=Q\Lambda Q^T=A,$$

故 $A$ 为实对称矩阵。

五、秩一矩阵

设 $A$ 为 $n$ 阶方阵，若 $r(A)=1$，则有以下结论。

1. 秩一矩阵的分解形式

$$r(A)=1 \iff A=\alpha\beta^T, \qquad \alpha\ne0,\ \beta\ne0.$$

即：秩一矩阵一定可以写成非零列向量乘以非零行向量的形式，非零列向量乘以非零行向量得到的结果一定是一个秩一矩阵。

证明： 若 $r(A)=1$，任取 $A$ 的一个非零列向量 $\alpha$，其余每一列都是 $\alpha$ 的倍数。把这些倍数依次排成行向量 $\beta^T$，便有 $A=\alpha\beta^T$。反过来，$\alpha\beta^T$ 的每一列都是 $\alpha$ 的倍数，且 $\alpha,\beta$ 均非零，所以其秩恰为 $1$。

2. 秩一矩阵的迹

秩一矩阵的迹等于行向量乘以列向量：

$$\operatorname{tr}(A)=\alpha^T\beta=\beta^T\alpha.$$

证明： 设 $\alpha=(a_1,\ldots,a_n)^T$，$\beta=(b_1,\ldots,b_n)^T$，则 $A=\alpha\beta^T$ 的主对角元素依次为 $a_1b_1,\ldots,a_nb_n$，所以

$$\operatorname{tr}(A)=\sum_{i=1}^na_ib_i =\alpha^T\beta=\beta^T\alpha.$$

3. 秩一矩阵的高次幂

令

$$l=\operatorname{tr}(A),$$

则

$$A^2=\alpha\beta^T\alpha\beta^T =(\beta^T\alpha)A =lA,$$

因而

$$A^n=l^{n-1}A.$$

证明： 由 $A=\alpha\beta^T$ 和 $\beta^T\alpha=l$，直接得到 $A^2=lA$。若 $A^k=l^{k-1}A$，则

$$A^{k+1}=A^kA=l^{k-1}A^2=l^kA.$$

由数学归纳法可得 $A^n=l^{n-1}A$。

4. 秩一矩阵的特征值

$A$ 的特征值为

$$\lambda_1=\lambda_2=\cdots=\lambda_{n-1}=0, \qquad \lambda_n=\operatorname{tr}(A).$$

证明： 因为 $r(A)=1$，所以 $Ax=0$ 的基础解系含有 $n-1$ 个线性无关向量，故 $0$ 至少是 $n-1$ 重特征值。又因为全部特征值之和等于矩阵的迹，剩余一个特征值只能是 $\operatorname{tr}(A)$。

5. 秩一矩阵相似对角化的条件

$A$ 能相似对角化的充要条件是

$$A\text{ 能相似对角化} \iff \operatorname{tr}(A)\ne0.$$

若 $\operatorname{tr}(A)\ne0$，则

$$A\sim \operatorname{diag}(0,\ldots,0,\operatorname{tr}(A)).$$

若 $\operatorname{tr}(A)=0$，则 $A^2=O$，且 $A$ 不能相似对角化。

证明： 若 $\operatorname{tr}(A)\ne0$，则 $0$ 对应的特征子空间维数为 $n-r(A)=n-1$，而 $\operatorname{tr}(A)$ 还对应一个与它们线性无关的特征向量，所以 $A$ 有 $n$ 个线性无关的特征向量，可以相似对角化。若 $\operatorname{tr}(A)=0$，则所有特征值均为 $0$。假如 $A$ 可以相似对角化，就只能相似于零矩阵，从而 $A=O$，这与 $r(A)=1$ 矛盾。

6. 秩一矩阵的特征向量

若 $\operatorname{tr}(A)=0$，$A$ 的特征值全为 $0$，则只需解

$$Ax=0,$$

即可得到特征值 $0$ 对应的特征向量。

若 $\operatorname{tr}(A)\ne0$，则

$$\lambda_1=\lambda_2=\cdots=\lambda_{n-1}=0, \qquad \lambda_n=\operatorname{tr}(A)=\alpha^T\beta=\beta^T\alpha.$$

特征值 $0$ 对应的特征向量仍只需解 $Ax=0$。

证明： 特征值 $0$ 对应的特征向量按定义就是齐次方程组 $Ax=0$ 的非零解。又因为

$$A\alpha=\alpha\beta^T\alpha =(\beta^T\alpha)\alpha =\operatorname{tr}(A)\alpha,$$

所以 $\alpha$ 是特征值

$$\lambda_n=\operatorname{tr}(A)=\alpha^T\beta=\beta^T\alpha$$

对应的特征向量。

7. 数量矩阵与秩一矩阵之和

若矩阵

$$B=A+kE,$$

则可利用秩一矩阵的结论，快速计算矩阵 $B$ 的特征值；$B$ 的特征值等于 $A$ 的特征值全部加上 $k$。

证明： 若 $Ax=\lambda x$，则

$$Bx=(A+kE)x=(\lambda+k)x,$$

所以 $B$ 的特征值是在 $A$ 的每个特征值上加 $k$。

8. 两个秩一矩阵相加

见到两个秩一矩阵相加，条件反射想到

$$r(A+B)\le r(A)+r(B).$$

证明： $A+B$ 的列空间包含于 $A$ 与 $B$ 的列空间之和，因此其维数不超过两个列空间维数之和。特别地，当 $r(A)=r(B)=1$ 时，$r(A+B)\le2$。

六、二次多项式矩阵

设 $A$ 为 $n$ 阶方阵，且

$$(A-aE)(A-bE)=O, \qquad a\ne b.$$

这是一个重要的秩推导过程，可依次得到以下结论。

1. 特征值只能为 $a$ 或 $b$

证明： 由

$$(A-aE)(A-bE)=O$$

可知特征值满足

$$(\lambda-a)(\lambda-b)=0,$$

所以

$$\lambda=a\quad\text{或}\quad\lambda=b.$$

即矩阵 $A$ 的特征值只能为 $a$ 或 $b$。

2. 两个矩阵的秩之和为 $n$

证明： 由

$$(A-aE)(A-bE)=O$$

可得

$$r(A-aE)+r(A-bE)\le n.$$

另一方面，

$$\begin{aligned} r(A-aE)+r(A-bE) &=r(aE-A)+r(A-bE)\\ &\ge r(aE-A+A-bE)\\ &=r((a-b)E)=n. \end{aligned}$$

因此

$$r(A-aE)+r(A-bE)=n.$$

3. 特征值 $a$ 对应的特征向量

证明： 仍由

$$(A-aE)(A-bE)=O$$

可知，$(A-bE)$ 的每一个列向量都是齐次方程组

$$(A-aE)x=0$$

的解。因此，$(A-bE)$ 的非零列向量都是特征值 $\lambda=a$ 对应的特征向量，从而 $\lambda=a$ 对应的线性无关特征向量的个数至少为

$$r(A-bE).$$

4. 特征值 $b$ 对应的特征向量

证明： 展开两个因子的乘积，有

$$\begin{aligned} (A-aE)(A-bE) &=A^2-(a+b)A+abE\\ &=(A-bE)(A-aE)=O. \end{aligned}$$

所以，$(A-aE)$ 的每一个列向量都是齐次方程组

$$(A-bE)x=0$$

的解。因此，$(A-aE)$ 的非零列向量都是特征值 $\lambda=b$ 对应的特征向量，从而 $\lambda=b$ 对应的线性无关特征向量的个数至少为

$$r(A-aE).$$

5. 矩阵 $A$ 可以相似对角化

证明： 综合前面的结论，矩阵 $A$ 的线性无关特征向量至少有

$$r(A-bE)+r(A-aE)=n$$

个。又因为 $n$ 阶矩阵最多有 $n$ 个线性无关的特征向量，所以 $A$ 恰有 $n$ 个线性无关的特征向量，因而 $A$ 可以相似对角化。

6. 常见二次关系

幂等矩阵和满足二次关系的矩阵都可以按照这一思路处理。例如：

$$A^2=A \Rightarrow A(A-E)=O \Rightarrow (A-0E)(A-E)=O,$$

所以 $A$ 可以相似对角化；

$$A^2=2E \Rightarrow (A+\sqrt2E)(A-\sqrt2E)=O,$$

所以 $A$ 可以相似对角化；

$$A^2+2A=3E \Rightarrow (A+3E)(A-E)=O,$$

所以 $A$ 也可以相似对角化。

证明方法： 只要把矩阵满足的二次关系分解为

$$(A-aE)(A-bE)=O,\qquad a\ne b,$$

就可以直接套用前面的证明。两个一次因子对应两个不同的特征值，因此矩阵可以相似对角化。

七、列满秩矩阵

设矩阵 $A_{m\times n}$ 列满秩，即

$$r(A)=n,$$

此时隐含条件为 $m\ge n$。列满秩矩阵有以下重要结论。

① $r(A)=n\iff A$ 可经有限次初等行变换化为 $\begin{pmatrix}E_n\\O\end{pmatrix}$

$r(A)=n$ 当且仅当 $A$ 可经过有限次初等行变换化为

$$\begin{pmatrix}E_n\\O\end{pmatrix},$$

即存在可逆矩阵 $P$，使得

$$PA=\begin{pmatrix}E_n\\O\end{pmatrix}.$$

证明： 初等行变换不改变矩阵的列秩。$r(A)=n$ 表明 $A$ 的每一列都有主元，所以其行最简形必为 $\begin{pmatrix}E_n\\O\end{pmatrix}$。有限次初等行变换等价于左乘可逆矩阵 $P$，因此得到上述矩阵等式；反向推导同理。

记住这一结论的最好方式是举例并手推。例如

$$A=\begin{pmatrix}1&4\\2&5\\3&6\end{pmatrix}, \qquad r(A)=2,$$

对 $A$ 作初等行变换，可以将其化为

$$\begin{pmatrix}1&0\\0&1\\0&0\end{pmatrix}.$$

由此还可得到一个推论：若矩阵 $A$ 和 $B$ 的列数相同，且均列满秩，则矩阵 $A$ 和矩阵 $B$ 的行向量组等价。因为二者都可以通过初等行变换化为

$$\begin{pmatrix}E_n\\O\end{pmatrix},$$

以它作为桥梁即可。

② $r(A)=n\iff Ax=0$ 只有零解

$r(A)=n$ 当且仅当齐次方程组

$$Ax=0$$

只有零解。其逆否命题是：若 $x\ne0$，则 $Ax\ne0$。因此还可以写成

$$r(A)=n \iff \text{对于任意 }\alpha\ne0,\text{ 均有 }A\alpha\ne0.$$

证明： $r(A)=n$ 表明齐次方程组的未知数个数等于秩，自由未知数个数为零，因此只有零解。反过来，若 $Ax=0$ 只有零解，则 $n-r(A)=0$，所以 $r(A)=n$。

③ $r(A)=n\iff$ 若 $AB=O$，则 $B=O$

$r(A)=n$ 当且仅当：对任意适配的矩阵 $B$，若 $AB=O$，则 $B=O$。

证明： 把矩阵 $B$ 按列分块，每一列都满足 $Ax=0$。因为该齐次方程组只有零解，所以 $B$ 的每一列都是零向量，即 $B=O$。

④ $r(A)=n\iff$ 若 $AB=AC$，则 $B=C$

$r(A)=n$ 当且仅当：对任意适配的矩阵 $B,C$，若 $AB=AC$，则 $B=C$。

证明： 这是列满秩矩阵的“左消去律”，因为

$$A(B-C)=O\Rightarrow B-C=O.$$

⑤ $r(A)=n\iff A^TA$ 为正定矩阵

$r(A)=n$ 当且仅当 $A^TA$ 为正定矩阵，即

$$r(A)=n\iff A^TA\text{ 为正定矩阵}.$$

先说明 $A^TA$ 是对称矩阵：

$$(A^TA)^T=A^TA.$$

证明： 必要性：若 $r(A)=n$，则对任意 $x\ne0$，都有 $Ax\ne0$，从而

$$x^TA^TAx=(Ax)^T(Ax)>0.$$

由正定矩阵的定义可知，$A^TA$ 正定。

充分性：若 $A^TA$ 正定，则对任意 $x\ne0$，都有

$$x^TA^TAx>0,$$

即

$$(Ax)^T(Ax)>0,$$

所以 $Ax\ne0$。由前面的逆否命题可知 $r(A)=n$，充分性得证。

⑥ $r(A)=n\iff$ 存在矩阵 $B$，使得 $BA=E$

$r(A)=n$ 当且仅当存在矩阵 $B$，使得

$$BA=E.$$

等价地，存在矩阵 $B$，使得

$$A^TB^T=E.$$

证明： 必要性：若 $A$ 列满秩，则 $A^T$ 行满秩。根据行满秩矩阵的基本结论，方程 $A^Tx=b$ 一定有解，因此矩阵方程

$$A^TX=E$$

也一定有解。将 $X$ 按列分块即可知，存在矩阵 $B^T$，使得

$$A^TB^T=E,$$

即存在矩阵 $B$，使得 $BA=E$。

充分性：若 $BA=E$，则由矩阵秩的强弱关系可知

$$r(A)\ge r(BA)=r(E)=n.$$

而 $A$ 只有 $n$ 列，所以 $r(A)=n$，即 $A$ 列满秩。充分性得证。

⑦ $r(A)=n\Rightarrow Bx=0$ 和 $ABx=0$ 同解

若 $r(A)=n$，则方程组

$$Bx=0$$

与

$$ABx=0$$

同解。

证明： 若 $Bx=0$，则等式两端左乘 $A$，可得 $ABx=0$，所以 $Bx=0$ 的解都是 $ABx=0$ 的解。反过来，若 $ABx=0$，因为 $r(A)=n$，齐次方程组 $Ay=0$ 只有零解，令 $y=Bx$，便有

$$A(Bx)=0\Rightarrow Bx=0.$$

所以 $ABx=0$ 的解也是 $Bx=0$ 的解，二者同解。

方程组同解的充要条件是行向量组等价，因此 $B$ 的行向量组与 $AB$ 的行向量组等价，从而

$$r(B)=r(AB)=r\begin{pmatrix}B\\AB\end{pmatrix}.$$

常用的“左乘列满秩，秩不变”，就是上述结论的一部分：

$$r(A)=n\Rightarrow r(B)=r(AB).$$

八、行满秩矩阵

设矩阵 $A_{m\times n}$ 行满秩，即

$$r(A)=m,$$

隐含条件为 $m\le n$。行满秩矩阵独有的性质并不多，最常用的是：若 $A$ 行满秩，则 $Ax=b$ 一定有解。

① 若 $A$ 行满秩，则 $Ax=b$ 一定有解，$AX=B$ 也一定有解

$$Ax=b$$

一定有解；矩阵方程

$$AX=B$$

也一定有解。

证明： 若 $r(A)=m$，则

$$m=r(A)\le r(A,b)\le m,$$

所以 $r(A)=r(A,b)=m$，即 $Ax=b$ 一定有解。将矩阵方程 $AX=B$ 中的 $X$ 和 $B$ 按列分块，$X$ 的每一列都对应一个有解的非齐次方程组，因此 $AX=B$ 一定有解。

② $r(A)=m\iff A$ 可经有限次初等列变换化为 $(E_m,O)$

即存在可逆矩阵 $P$，使得

$$AP=(E_m,O).$$

证明： $r(A)=m$ 表明 $A$ 的每一行都有主元。初等列变换不改变行秩，因此其列最简形为 $(E_m,O)$；有限次初等列变换等价于右乘可逆矩阵 $P$。反过来，若 $AP=(E_m,O)$ 且 $P$ 可逆，则初等列变换不改变秩，所以 $r(A)=m$。

行满秩矩阵其余的更多性质，基本上都是因为“$A$ 行满秩等价于 $A^T$ 列满秩”，然后利用上一节列满秩矩阵的相关结论进行推导。

$r(A)=m\Rightarrow r(BA)=r(B)$，即右乘行满秩，秩不变

$$r(A)=m\Rightarrow r(BA)=r(B),$$

证明： $A^T$ 列满秩，由“左乘列满秩，秩不变”可知

$$r(BA)=r(A^TB^T)=r(B^T)=r(B).$$

$r(A)=m\iff$ 若 $BA=CA$，则 $B=C$

$$BA=CA\Rightarrow B=C.$$

证明： 对 $BA=CA$ 两端同时取转置，得到

$$A^TB^T=A^TC^T.$$

因为 $A^T$ 列满秩，由列满秩矩阵的左消去律可得 $B^T=C^T$，即 $B=C$。

$r(A)=m\iff AA^T$ 为正定矩阵

有

$$r(A)=m\iff AA^T\text{ 为正定矩阵}.$$

证明： 因为 $r(A)=m\iff r(A^T)=m$，可把列满秩矩阵的正定判定应用于 $A^T$：

$$r(A^T)=m \iff (A^T)^TA^T=AA^T\text{ 为正定矩阵}.$$

其余更多性质也可以由 $A^T$ 列满秩推出。

九、矩阵的高次幂

计算矩阵的 $n$ 次幂，应优先识别结构。常用方法如下。

1. 秩一矩阵的二级结论

优先看是否为秩一矩阵。若 $A=\alpha\beta^T$，令 $l=\operatorname{tr}(A)$，则

$$A^n=l^{n-1}A.$$

证明： 因为 $A^2=(\beta^T\alpha)A=\operatorname{tr}(A)A=lA$，连续左乘 $A$ 即得 $A^n=l^{n-1}A$。

2. 二项式展开

必须满足可交换。一般写成

$$A=B+kE,$$

其中 $B$ 在进行几次乘法运算后为零矩阵，例如严格上三角矩阵或严格下三角矩阵。若 $B^s=O$，则

$$(kE+B)^n =\sum_{j=0}^{s-1}\binom{n}{j}k^{n-j}B^j.$$

证明： 数量矩阵 $kE$ 与 $B$ 可交换，所以可以使用二项式定理。原展开式本应从 $j=0$ 写到 $n$；由于 $B^s=O$，所有 $j\ge s$ 的项均为零，只需保留到 $s-1$ 项。

严格三角矩阵的非零元素都在对角线下方或上方，非零元素构成的三角形边长为 $k$ 时，常有

$$B^k\ne O, \qquad B^{k+1}=O.$$

这是因为严格三角矩阵每乘一次，可能出现非零元素的位置就向远离主对角线的方向移动一层；移动超过矩阵的有效三角区域后，所有元素都变为零。

3. 分块矩阵

分块矩阵可结合前面几种方法分别处理各个对角块；块对角结构满足

$$\begin{pmatrix}B&O\\O&C\end{pmatrix}^{n} =\begin{pmatrix}B^n&O\\O&C^n\end{pmatrix}.$$

证明： 两个块对角矩阵相乘时，非对角块始终为零，对角块分别相乘。对幂次作数学归纳即可得到上述公式。

4. 相似对角化

这是通法，也是最重要的方法。若

$$P^{-1}AP=\Lambda,$$

则

$$A^n=P\Lambda^nP^{-1}.$$

高次幂问题通常将矩阵对角化，然后利用对角矩阵的幂容易计算这一点处理。

证明： 由 $P^{-1}AP=\Lambda$ 得 $A=P\Lambda P^{-1}$，所以

$$A^n =(P\Lambda P^{-1})^n =P\Lambda^nP^{-1},$$

中间相邻的 $P^{-1}P$ 全部约为单位矩阵。

5. 初等变换与找规律

若矩阵由简单的初等变换得到，或无法相似对角化，可从初等变换的角度理解它的作用；也可以先计算 $A^2,A^3$ 寻找递推规律。找规律可以使用，但仍建议优先以结构和相似对角化为主。

依据： 若计算出较低次幂后出现 $A^m=c_0E+c_1A+\cdots+c_{m-1}A^{m-1}$，后续高次幂都可以用这个关系递推降次。其本质仍是寻找矩阵满足的多项式关系；若能进一步分解或对角化，应优先改用前面的结构化方法。