凹凸性与拐点相关知识点

1 凹凸性的定义

《全国硕士研究生招生考试数学考试大纲》规定如下：

定义 1 设函数 $f(x)$ 在区间 $I$ 上连续. 如果对 $I$ 上任意不同两点 $x_1, x_2$，恒有

$$f\left(\frac{x_1+x_2}{2}\right) < \frac{f(x_1)+f(x_2)}{2},$$

则称 $y=f(x)$ 在 $I$ 上的图形是凹的（或凹弧），如图 5-2(a) 所示；如果恒有

$$f\left(\frac{x_1+x_2}{2}\right) > \frac{f(x_1)+f(x_2)}{2},$$

则称 $y=f(x)$ 在 $I$ 上的图形是凸的（或凸弧），如图 5-2(b) 所示.

（左侧手写：凹函数 弦 ≥ 函数 ≥ 切线；右侧手写：凸函数 切线 ≥ 函数 ≥ 弦；红色旁注：广义的凹凸性可以带等号）

• 图 5-2(a)：图形上任意弧段位于弦的下方，满足 $\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2} > f\left(\frac{x_1+x_2}{2}\right)$
• 图 5-2(b)：图形上任意弧段位于弦的上方，满足 $\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2} < f\left(\frac{x_1+x_2}{2}\right)$

注 事实上，当图形为凹时，可以将 $f\left(\frac{1}{2}x_1+\frac{1}{2}x_2\right) < \frac{1}{2}f(x_1)+\frac{1}{2}f(x_2)$ 更一般地写为

$$f(\lambda_1 x_1 + \lambda_2 x_2) < \lambda_1 f(x_1) + \lambda_2 f(x_2),$$

其中 $0 < \lambda_1 < 1,\ 0 < \lambda_2 < 1,\ \lambda_1+\lambda_2=1$。（旁注：$\lambda_1=\lambda_2=\frac{1}{2}$ 仅为特殊情况）

定义 2 设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，在 $(a,b)$ 内可导，若对 $(a,b)$ 内的任意 $x$ 及 $x_0(x\ne x_0)$，均有

$$f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0) < f(x),$$

则称 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 的图形上是凹的。 （若为 $> f(x)$，则是凸的）

注（几何意义）$y=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)$ 是曲线 $y=f(x)$ 在点 $(x_0,f(x_0))$ 处的切线方程，因此（*）式的几何意义如图 5-3 所示。若曲线 $y=f(x)(a<x<b)$ 在任意点处的切线（除该点外）总在曲线的下方（上方），则该曲线是凹（凸）的。

这张图是高等数学中凹凸性与拐点的知识点总结，我帮你完整梳理并解读关键内容：

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2 拐点的定义

1. 定义：连续曲线的凹弧与凸弧的分界点称为该曲线的拐点。
   • 间断点不可能为拐点；
   • 形如”√“或”∩“的尖点，也可以是拐点；
   • 表示方法：极值点只写横坐标 $x=x_0$，拐点应写为 $(x_0, f(x_0))$（必须带坐标）。

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3 凹凸性与拐点的判别

① 判别凹凸性

设函数 $f(x)$ 在区间 $I$ 上二阶可导：

• 若在 $I$ 上 $f''(x) > 0$，则 $f(x)$ 在 $I$ 上的图形是凹的；
• 若在 $I$ 上 $f''(x) < 0$，则 $f(x)$ 在 $I$ 上的图形是凸的。

记忆技巧：“负凸”，即 $f''(x)$ 为负时，函数为凸函数；$f''(x)$ 为正时，函数为凹函数。

② 二阶可导点是拐点的必要条件

设 $f''(x_0)$ 存在，且点 $(x_0, f(x_0))$ 为曲线的拐点，则 $f''(x_0)=0$。

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4 拐点三大充分条件

① 判别拐点的第一充分条件（最常用）

设 $f(x)$ 在点 $x=x_0$ 处连续，在 $x=x_0$ 的某去心邻域内二阶导数存在，且在该点的左、右邻域内 $f''(x)$ 变号（无论由正变负，还是由负变正），则点 $(x_0, f(x_0))$ 为曲线的拐点。

补充说明：拐点并不要求 $f(x)$ 在 $x_0$ 处可导，如 $y=\sqrt[3]{x}$ 在 $x=0$ 处导数不存在，但 $(0,0)$ 仍是它的拐点。

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② 判别拐点的第二充分条件

设 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 的某邻域内三阶可导，且 $f''(x_0)=0$，$f'''(x_0)\ne 0$，则点 $(x_0,f(x_0))$ 为曲线的拐点.

注 上述第二充分条件的证明如下：由于 $f'''(x_0)=\lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{f''(x)-f''(x_0)}{x-x_0}=\lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{f''(x)}{x-x_0}\ne 0$，不妨设 $f'''(x_0)>0$. 由保号性可知：
①当 $x\in(x_0-\delta,x_0)$ 时，$x-x_0<0$，所以 $f''(x)<0$，即曲线在 $x_0$ 的左邻域为凸的.
②当 $x\in(x_0,x_0+\delta)$ 时，$x-x_0>0$，所以 $f''(x)>0$，即曲线在 $x_0$ 的右邻域为凹的.
因此 $(x_0,f(x_0))$ 为拐点.

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③ 判别拐点的第三充分条件

设 $f(x)$ 在 $x_0$ 处 $n$ 阶可导，且 $f^{(m)}(x_0)=0\ (m=2,\dots,n-1)$，$f^{(n)}(x_0)\ne 0\ (n\ge 3)$，则当 $n$ 为奇数时，点 $(x_0,f(x_0))$ 为曲线的拐点.
→ 对 $m=1$ 无须条件，故无须 $f'(x_0)=0$.
→ 证明可借助泰勒公式或洛必达法则，无须掌握.

用特例去记忆极值/拐点的第三充分条件 若 $f'(x_0)=f''(x_0)=\dots=f^{(n-1)}(x_0)=0$，$f^{(n)}(x_0)\ne 0$，则
若 $n$ 为偶数 —— 极值.（举 $n=2$ 的特例来记忆，$f'(x_0)=0$，$f''(x_0)\ne 0$，极值）.
$f^{(n)}(x_0)<0\Rightarrow$ 极大值，$f^{(n)}(x_0)>0\Rightarrow$ 极小值.
若 $n$ 为奇数 —— 拐点.（举 $n=3$ 的特例来记忆，$f''(x_0)=0$，$f'''(x_0)\ne 0$，拐点.）

一个点可以既是极值点又是拐点.
但此时一定是”带尖”的情况，如”带尖”、不可导.
即此时该点一定是不可导点.
若 $f(x)$ 在某一点处可导，则该点不可能既是极值点又是拐点.