反例构造

看到 $o(x^n)$，想

$$x^{n+1}f(x)$$

尤其是

$$x^{n+1}\sin\frac{1}{x},\quad x^{n+1}\cos\frac{1}{x}$$

这类”高阶小量 + 震荡因子”的构造。

核心记法：多乘一个 $x$，阶数就高一阶；再乘震荡函数，就能制造反例。

接下来整理常用的函数：

看到 连续推出可导，想 $|x|$。

看到 可导推出导数连续，想

$$f(x)=x^2\sin\frac{1}{x},\quad f(0)=0.$$

看到 有界推出极限存在，想

$$\sin\frac{1}{x}.$$

看到 极限存在推出连续，想 挖点函数，例如

$$f(x)= \begin{cases} 0,&x\neq 0,\\ 1,&x=0. \end{cases}$$