改善二阶系统的措施

一、比例-微分控制

比例-微分控制作用在输入端误差信号上，对误差 $e(t)$ 进行比例和微分控制。

控制规律为：

$$u(t)=K_p e(t)+K_d \dot e(t)$$

其传递函数为：

$$G_c(s)=K_p+K_d s=K_p(1+T_d s)$$

其中：

$$T_d=\frac{K_d}{K_p}$$

所以比例-微分控制的阻尼来源是误差信号变化率。

闭环传递函数常写成：

$$\Phi(s)=\frac{C(s)}{R(s)} =\frac{\omega_n^2(T_d s+1)} {s^2+2\zeta_d\omega_n s+\omega_n^2}$$

它的特点是：能够增大阻尼、减小振荡、加快响应；但由于分子中出现了 $(T_d s+1)$，所以会引入闭环零点。闭环零点会加快系统响应，但也可能使超调量增大。

另外，微分环节对高频信号非常敏感。因为微分在频域中相当于乘以 $s$，高频噪声容易被放大，所以比例-微分控制的抗噪声能力较差，实际应用中常要加滤波。

二、测速反馈控制

测速反馈控制作用在输出端速度信号上，把输出量的变化速度反馈回来。

测速反馈信号可理解为：

$$K_t \dot c(t)$$

在拉氏变换下为：

$$K_t s C(s)$$

所以测速反馈控制的阻尼来源是系统输出响应速度。

其闭环传递函数常写成：

$$\Phi(s)=\frac{C(s)}{R(s)} =\frac{\omega_n^2} {s^2+2\zeta_f\omega_n s+\omega_n^2}$$

它的特点是：能够增大阻尼、减小振荡、减小超调；但一般不引入闭环零点，只改变分母中的阻尼项。因此它对系统动态性能的改善更平稳。

测速反馈不像比例-微分控制那样直接对误差信号微分，所以对输入端高频噪声不那么敏感。但测速元件本身可能带来测量噪声，这类噪声会通过反馈通道进入系统。

三、主要差别总结

比例-微分控制的阻尼来自：

$$\dot e(t)$$

也就是误差信号的变化速度。

测速反馈控制的阻尼来自：

$$\dot c(t)$$

也就是输出响应的速度。

比例-微分控制会使闭环传递函数分子出现：

$$T_d s+1$$

因此会引入闭环零点；测速反馈控制一般不引入闭环零点。

在相同阻尼比和自然频率条件下，比例-微分控制由于闭环零点影响，超调量通常大于测速反馈控制。

一句话背诵：

比例-微分控制对误差信号微分，靠 $\dot e(t)$ 增加阻尼，响应快，但引入闭环零点，超调可能较大，且容易放大高频噪声；测速反馈控制对输出速度反馈，靠 $\dot c(t)$ 增加阻尼，不引入闭环零点，减小超调和抑制振荡更平稳，但测速元件可能引入测量噪声。