无根号时也可以三角换元：$(x^2+a^2)^n$ 型定积分

核心技巧

三角换元不要求被积函数含根号。只要出现 $(x^2+a^2)^n$ 的结构，都可以令

$$x = a\tan t$$

其理由在于：换元后 $x^2+a^2 = a^2(\tan^2 t+1) = a^2\sec^2 t$，将幂次转移到 $\sec t$ 上，再用 $\cos t$ 倒回来降幂，最终配合华里士公式处理。

积分限的对应关系：

$$x\in(0,+\infty) \;\Longrightarrow\; t\in\!\left(0,\tfrac{\pi}{2}\right)$$

例题（例 3.54）

解答题例 3.54

计算

$$\int_{0}^{+\infty}\frac{dx}{(x^2+3)^2}$$

解答

换元

令 $x=\sqrt{3}\tan t$，则 $dx=\sqrt{3}\sec^2 t\,dt$，积分限变为 $t\in\!\left[0,\dfrac{\pi}{2}\right)$。

代入化简

$$\int_{0}^{+\infty}\frac{dx}{(x^2+3)^2} =\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sqrt{3}\sec^2 t}{\bigl[3(\tan^2 t+1)\bigr]^2}\,dt$$

利用 $\tan^2 t+1=\sec^2 t$：

$$=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sqrt{3}\sec^2 t}{9\sec^4 t}\,dt =\frac{\sqrt{3}}{9}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos^2 t\,dt$$

华里士公式

$$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos^2 t\,dt = \frac{1}{2}\cdot\frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{4}$$

结果

$$\int_{0}^{+\infty}\frac{dx}{(x^2+3)^2} =\frac{\sqrt{3}}{9}\cdot\frac{\pi}{4} =\boxed{\dfrac{\sqrt{3}\,\pi}{36}}$$