系统型别与稳态误差系数详解

系统型别定义

一般情况下，设分子阶次为 $m$ ，分母阶次为 $n$ 的系统开环传递函数为

G(s)H(s)=\frac{K\prod_{j=1}^{m}(\tau_j s+1)}{s^\nu\prod_{i=1}^{n-\nu}(T_i s+1)}\qquad m\le n

式中， $K$ 为系统开环增益； $T_i,\tau_j$ 为时间常数； $\nu$ 为开环系统在 $s$ 平面坐标原点上的极点数，即开环传递函数中串联的积分环节数。

为便于讨论，令

G_1(s)=\frac{\prod_{j=1}^{m}(\tau_j s+1)}{\prod_{i=1}^{n-\nu}(T_i s+1)}

可知 $\lim_{s\to 0}G_1(s)=1$ ，开环传递函数可改写为

G(s)H(s)=\frac{K}{s^\nu}G_1(s)

设为单位反馈系统，即 $H(s)=1$ ，则稳态误差计算通式为

e_{ss} =\lim_{s\to 0}\frac{sR(s)}{1+G(s)H(s)} =\frac{\lim_{s\to 0}\bigl(s^{\nu+1}R(s)\bigr)}{K+\lim_{s\to 0}s^\nu}

由此可见，影响稳态误差的因素包括系统型别、开环增益以及输入信号的形式和幅值。

这三个误差系数不是凭空来的，而是从稳态误差公式里，为了对应三种典型输入信号整理出来的。

单位反馈系统中，由终值定理：

e_{ss}=\lim_{s\to 0}sE(s)=\lim_{s\to 0}\frac{sR(s)}{1+G(s)H(s)}

关键在于：不同输入 $R(s)$ 的形式不同，会自然引出不同的极限形式。

r(t)=1,\qquad R(s)=\frac{1}{s}

代入：

e_{ss} =\lim_{s\to 0}\frac{s\cdot\dfrac{1}{s}}{1+G(s)H(s)} =\lim_{s\to 0}\frac{1}{1+G(s)H(s)}

定义静态位置误差系数：

K_p=\lim_{s\to 0}G(s)H(s)

则阶跃输入下：

e_{ss}=\frac{1}{1+K_p}

r(t)=t,\qquad R(s)=\frac{1}{s^2}

代入：

e_{ss} =\lim_{s\to 0}\frac{s\cdot\dfrac{1}{s^2}}{1+G(s)H(s)} =\lim_{s\to 0}\frac{1}{s\bigl[1+G(s)H(s)\bigr]}

当 $s\to 0$ 时 $G(s)H(s)$ 很大，主导项为 $sG(s)H(s)$ ，定义静态速度误差系数：

K_v=\lim_{s\to 0}sG(s)H(s)

则斜坡输入下：

e_{ss}=\frac{1}{K_v}

r(t)=\frac{1}{2}t^2,\qquad R(s)=\frac{1}{s^3}

代入：

e_{ss} =\lim_{s\to 0}\frac{s\cdot\dfrac{1}{s^3}}{1+G(s)H(s)} =\lim_{s\to 0}\frac{1}{s^2\bigl[1+G(s)H(s)\bigr]}

主导项为 $s^2G(s)H(s)$ ，定义静态加速度误差系数：

K_a=\lim_{s\to 0}s^2G(s)H(s)

则抛物线输入下：

e_{ss}=\frac{1}{K_a}

将 $G(s)H(s)=\dfrac{K}{s^\nu}G_1(s)$ 代入，并利用 $\lim_{s\to 0}G_1(s)=1$ ，得

K_p=\lim_{s\to 0}\frac{K}{s^\nu},\qquad K_v=\lim_{s\to 0}\frac{K}{s^{\nu-1}},\qquad K_a=\lim_{s\to 0}\frac{K}{s^{\nu-2}}

三个误差系数是把稳态误差公式分别代入阶跃、斜坡、抛物线输入后，为了简化表达自然定义出来的。阶跃对应 $K_p$ ，斜坡对应 $K_v$ ，抛物线对应 $K_a$ 。

型别 $\nu$	$K_p$	$K_v$	$K_a$	阶跃 $e_{ssp}=\dfrac{A}{1+K_p}$	斜坡 $e_{ssv}=\dfrac{B}{K_v}$	抛物线 $e_{ssa}=\dfrac{C}{K_a}$
0	$K$	$0$	$0$	$\dfrac{A}{1+K}$	$\infty$	$\infty$
1	$\infty$	$K$	$0$	$0$	$\dfrac{B}{K}$	$\infty$
2	$\infty$	$\infty$	$K$	$0$	$0$	$\dfrac{C}{K}$