绝对值函数可导性的判断

几何理解

①连续函数若不可导，则等价于其函数图像“带尖”。

②若题干当中出现“光滑曲线”，则其等价于“函数连续可导（即函数连续且导数连续）”

结论1

注常用的结论:设 $f(x)=\varphi(x)|x-a|$ , 其 $\varphi(x)$ 在 $x=a$ 处连续,则 $f(x)$ 在 $x=a$ 处可导的充要条件是 $\varphi(a)=0$ .

【例 1】【1998 年数一真题】函数 $f(x)=(x^2 - x - 2)\left|x^3 - x\right|$ 不可导的点的个数是
$(A)3.$ $(B)2.$ $(C)1.$ $(D)0.$

解

\begin{align*} f(x) &= (x^2 - x - 2)\left|x^3 - x\right| \\ &= (x-2)(x+1)\left|x+1\right|\left|x-1\right|\left|x\right|. \end{align*}

显然 $f(x)$ 不可导的点最多有三个,即 $x=-1,x=1,x=0$ .

结论2

$f(x)$ 可导和 $|f(x)|$ 可导，二者无任何关系，如： $f(x)=x$ ，以及， $f(x)=\begin{cases} -1, & x<0 \\ 1, & x\ge 0 \end{cases}$

若 $f(x)$ 连续，则：
① 若 $f(x_0)\ne 0$ ，则 $|f(x)|$ 在 $x_0$ 处可导 $\iff$ $f(x)$ 在 $x_0$ 处可导
② 若 $f(x_0)=0$ ，则 $|f(x)|$ 在 $x_0$ 处可导 $\iff$ $f'(x_0)=0$
③ $|f(x)|$ 在 $x_0$ 处可导 $\implies$ $f(x)$ 在 $x_0$ 处可导

设函数 $g(x)$ 可导，则函数 $f(x)=|g(x)|$ 在 $x_0$ 处不可导 $\iff$ $g(x_0)=0$ ，且 $g'(x_0)\ne 0$

结论3

$(x-a)^k |x-a|$ 在 $x=a$ 处 $k$ 阶可导， $k+1$ 阶不可导。

由导数极限定理证明。

结论4

$f(x)$ 在 $x_0$ 处连续 $\implies$ $|f(x)|$ 在 $x_0$ 处连续