通过线性无关构造 $AP=PB$：相似矩阵的桥梁

若题中给出 $n$ 个 $n$ 维线性无关向量，条件反射想到把它们按列组成可逆矩阵 $P$，再构造 $AP=PB$，转化为 $P^{-1}AP=B$。

来源：邂逅遗憾《26 考研数学思维课·线性代数手稿》，第三章“向量”3.2 节，PDF 第 107—109 页（纸质页码第 101—103 页）。本文按知识逻辑重排，完整保留例 3.9、3.10、3.11、3.12 的题目和原资料解答。

验算：使用本机 Wolfram 15 通过 stdio MCP 暴露的 WolframLanguageEvaluator，精确核验了三个构造矩阵的特征多项式、例 3.11 的行列式和例 3.12 的特征值；正文仍保留可独立检查的构造与推导步骤。

一、什么时候想到构造 $AP=PB$

大多数同学在做这部分题时，仅仅知道“构建 $AP=PB$，若矩阵 $P$ 可逆，则

$$P^{-1}AP=B,$$

$A$ 和 $B$ 相似”这个手法，而不知道什么时候应该想到用这个手法，这属于典型的“知其然而不知其所以然”。

思维课直接给出结论：

若题中给出 $n$ 个 $n$ 维的线性无关向量，即这几个向量可以构成可逆矩阵；若个数和维度不同，则无法构成方阵。此时条件反射想到构造矩阵乘法 $AP=PB$，其中 $P$ 为这几个线性无关的向量所构成的矩阵。$P$ 可逆，则有 $P^{-1}AP=B$，转化为矩阵 $A$ 和 $B$ 相似进行后续研究。

设

$$P=(\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_n).$$

由

$$AP=(A\alpha_1,A\alpha_2,\ldots,A\alpha_n)$$

可知，只要把每个 $A\alpha_j$ 用 $\alpha_1,\ldots,\alpha_n$ 线性表示，其表示系数就应按列写入 $B$：

$$A\alpha_j =b_{1j}\alpha_1+b_{2j}\alpha_2+\cdots+b_{nj}\alpha_n.$$

于是

$$AP=PB.$$

因为 $\alpha_1,\ldots,\alpha_n$ 线性无关，所以 $P$ 可逆，进而

$$P^{-1}AP=B.$$

这表明 $A$ 与 $B$ 相似。后续涉及特征值、特征多项式、行列式或可对角化的问题，便可转到结构更清楚的 $B$ 上研究。

二、构造时的列坐标规则

构造 $B$ 时，最重要的是逐列对应：

$$AP=(A\alpha_1,\ldots,A\alpha_n).$$

$B$ 的第 $j$ 列，就是 $A\alpha_j$ 在有序向量组

$$\alpha_1,\ldots,\alpha_n$$

下的坐标。不能把坐标写成第 $j$ 行，也不能改变 $P$ 中向量的顺序。

若题目给出向量链

$$x,Ax,A^2x,$$

则通常令

$$P=(x,Ax,A^2x),$$

并计算

$$AP=(Ax,A^2x,A^3x).$$

若 $A^3x$ 不好处理，就把题设中的等式移项，对 $A^3x$ 进行变形，使其能由 $x,Ax,A^2x$ 表示。

三、例 3.9（2018 数一、数二、数三真题）

原资料提示：此题没有直接说 $\alpha$ 是 $3$ 维向量，但 $A$ 是 $3$ 阶矩阵，且 $A$ 可以右乘 $\alpha$，因此 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ 都是 $3$ 维向量。题中给出三个线性无关向量，条件反射构造 $AP=PB$。

填空题

设 $A$ 为 $3$ 阶矩阵，$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ 为线性无关的向量。若

$$A\alpha_1=2\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3,$$ $$A\alpha_2=\alpha_2+2\alpha_3,$$ $$A\alpha_3=-\alpha_2+\alpha_3,$$

则 $A$ 的实特征值为 ______。

解答

本题主要考查矩阵相似的定义以及性质。

由已知条件，可以得到一个与矩阵 $A$ 相似的矩阵 $B$。利用相似的矩阵具有相同的特征值这一性质，可以计算矩阵 $B$ 的特征值，从而得到矩阵 $A$ 的实特征值。

记

$$P=(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3).$$

由于 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ 线性无关，故 $P$ 可逆。

由题设可知

$$\begin{aligned} AP &=A(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)\\ &=(A\alpha_1,A\alpha_2,A\alpha_3)\\ &=(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3) \begin{pmatrix} 2&0&0\\ 1&1&-1\\ 1&2&1 \end{pmatrix}. \end{aligned}$$

令

$$B= \begin{pmatrix} 2&0&0\\ 1&1&-1\\ 1&2&1 \end{pmatrix},$$

则

$$AP=PB.$$

于是

$$P^{-1}AP=B.$$

由矩阵相似的定义可知，$A$ 与 $B$ 相似。

下面计算矩阵 $B$ 的特征多项式：

$$\begin{aligned} |\lambda E-B| &= \begin{vmatrix} \lambda-2&0&0\\ -1&\lambda-1&1\\ -1&-2&\lambda-1 \end{vmatrix}\\ &=(\lambda-2)(\lambda^2-2\lambda+3). \end{aligned}$$

由于

$$\lambda^2-2\lambda+3 =(\lambda-1)^2+2>0,$$

故 $|\lambda E-B|=0$ 仅有一个实根

$$\lambda=2.$$

于是，$B$ 仅有一个实特征值 $2$。又因为 $A$ 与 $B$ 相似，而相似的矩阵具有相同的特征值，所以 $A$ 的实特征值为

$$\boxed{2}.$$

四、例 3.10：由向量链求全部特征值

原资料提示：给出三个线性无关的三维向量，条件反射构造 $AP=PB$。在构造时发现 $A^3\alpha$ 不好处理，就死咬题目条件，对 $A^3\alpha$ 进行变形。本题实际上改编自例 3.11（2001 数一真题）和例 3.12（2020 数一、数二、数三真题）。

填空题

设向量组

$$\alpha,\ A\alpha,\ A^2\alpha$$

线性无关，其中 $A$ 为 $3$ 阶矩阵，$\alpha$ 为 $3$ 维非零列向量，且

$$A^3\alpha=3A\alpha-2A^2\alpha,$$

则 $A$ 的特征值为 ______。

解答

答案应填

$$0,\ 1,\ -3.$$

令

$$P=(\alpha,A\alpha,A^2\alpha).$$

因为 $\alpha,A\alpha,A^2\alpha$ 线性无关，所以 $P$ 可逆。并且

$$\begin{aligned} AP &=(A\alpha,A^2\alpha,A^3\alpha)\\ &=(A\alpha,A^2\alpha,3A\alpha-2A^2\alpha)\\ &=(\alpha,A\alpha,A^2\alpha) \begin{pmatrix} 0&0&0\\ 1&0&3\\ 0&1&-2 \end{pmatrix}. \end{aligned}$$

令

$$B= \begin{pmatrix} 0&0&0\\ 1&0&3\\ 0&1&-2 \end{pmatrix},$$

则

$$AP=PB.$$

因此

$$A=PBP^{-1},$$

即 $A$ 与 $B$ 相似，从而 $A,B$ 有相同的特征值。

又

$$\begin{aligned} |\lambda E-B| &= \begin{vmatrix} \lambda&0&0\\ -1&\lambda&-3\\ 0&-1&\lambda+2 \end{vmatrix}\\ &=\lambda(\lambda-1)(\lambda+3). \end{aligned}$$

故 $B$ 的特征值为

$$0,\ 1,\ -3.$$

所以 $A$ 的特征值为

$$\boxed{0,\ 1,\ -3}.$$

五、例 3.11（2001 年数一真题）：直接给出 $P$ 的形式

原资料提示：题目直接告诉了矩阵 $P$ 是什么形式，降低了难度；让你求 $A=PBP^{-1}$，等价于构造 $AP=PB$。构造时若发现 $A^3x$ 不好处理，就死咬题目条件，对 $A^3x$ 进行变形。

解答题解答题

已知 $3$ 阶矩阵 $A$ 与 $3$ 维向量 $x$，使得向量组

$$x,\ Ax,\ A^2x$$

线性无关，且满足

$$A^3x=3Ax-2A^2x.$$

1. 记

   $$P=(x,Ax,A^2x),$$

   求 $3$ 阶矩阵 $B$，使

   $$A=PBP^{-1};$$

2. 计算行列式

   $$|A+E|.$$

解答

第 1 问

由

$$A=PBP^{-1}$$

可得

$$AP=PB.$$

于是

$$\begin{aligned} A(x,Ax,A^2x) &=(Ax,A^2x,A^3x)\\ &=(Ax,A^2x,3Ax-2A^2x)\\ &=(x,Ax,A^2x) \begin{pmatrix} 0&0&0\\ 1&0&3\\ 0&1&-2 \end{pmatrix}. \end{aligned}$$

由于 $x,Ax,A^2x$ 线性无关，故 $P$ 可逆。因此

$$\boxed{ B=P^{-1}AP= \begin{pmatrix} 0&0&0\\ 1&0&3\\ 0&1&-2 \end{pmatrix}}.$$

第 2 问

由于

$$A=PBP^{-1},$$

故

$$\begin{aligned} |A+E| &=|PBP^{-1}+PEP^{-1}|\\ &=|P|\,|B+E|\,|P^{-1}|\\ &=|B+E|\\ &= \begin{vmatrix} 1&0&0\\ 1&1&3\\ 0&1&-1 \end{vmatrix}\\ &=-4. \end{aligned}$$

因此

$$\boxed{|A+E|=-4}.$$

六、例 3.12（2020 数一、数二、数三真题）：证明可逆并判断可对角化

原资料提示：此题直接给出了矩阵 $P$ 的形式，即两个线性无关的二维向量。第一问让证明 $P$ 为可逆矩阵，第一种证法是反证法。

原资料补充：也可以用特征向量定义的逆否命题说明。因为 $\alpha\ne0$ 且 $\alpha$ 不是 $A$ 的特征向量，所以不存在数 $k$ 使 $A\alpha=k\alpha$；于是 $\alpha$ 和 $A\alpha$ 线性无关，故 $P$ 可逆。

原资料还指出：第二问和例 3.9、例 3.10 的思路一样。让你求 $P^{-1}AP$，即设 $P^{-1}AP=B$，转而构造 $AP=PB$。构造时发现 $A^2\alpha$ 不好处理，就对题干等式移项，对 $A^2\alpha$ 进行变形。

解答题解答题

设 $A$ 为 $2$ 阶矩阵，

$$P=(\alpha,A\alpha),$$

其中 $\alpha$ 是非零向量且不是 $A$ 的特征向量。

1. 证明 $P$ 为可逆矩阵；

2. 若

   $$A^2\alpha+A\alpha-6\alpha=0,$$

   求 $P^{-1}AP$，并判断 $A$ 是否相似于对角矩阵。

解答

第 1 问

要证明 $P$ 为可逆矩阵，只需证明 $\alpha,A\alpha$ 线性无关。

假设 $\alpha,A\alpha$ 线性相关，则存在不全为零的常数 $k_1,k_2$，使得

$$k_1\alpha+k_2A\alpha=0.$$

若 $k_2=0$，则

$$k_1\alpha=0.$$

但 $\alpha$ 为非零向量，故 $k_1=0$，这与 $k_1,k_2$ 不全为零矛盾。

若 $k_2\ne0$，则

$$A\alpha=-\frac{k_1}{k_2}\alpha.$$

由特征向量的定义可知，$\alpha$ 为 $A$ 的特征向量，这与“$\alpha$ 不是 $A$ 的特征向量”矛盾。

因此，$\alpha,A\alpha$ 线性无关，$P$ 为可逆矩阵。

第 2 问

考虑

$$AP.$$

由

$$A^2\alpha+A\alpha-6\alpha=0$$

可得

$$A^2\alpha=6\alpha-A\alpha.$$

因此

$$\begin{aligned} AP &=(A\alpha,A^2\alpha)\\ &=(A\alpha,6\alpha-A\alpha)\\ &=(\alpha,A\alpha) \begin{pmatrix} 0&6\\ 1&-1 \end{pmatrix}\\ &=P \begin{pmatrix} 0&6\\ 1&-1 \end{pmatrix}. \end{aligned}$$

由第 1 问可知 $P$ 可逆。上式两端同时左乘 $P^{-1}$，可得

$$\boxed{ P^{-1}AP= \begin{pmatrix} 0&6\\ 1&-1 \end{pmatrix}}.$$

记

$$B= \begin{pmatrix} 0&6\\ 1&-1 \end{pmatrix},$$

则 $A$ 与 $B$ 相似。$A$ 与对角矩阵相似等价于 $B$ 与对角矩阵相似。

计算 $B$ 的特征多项式：

$$\begin{aligned} |\lambda E-B| &= \begin{vmatrix} \lambda&-6\\ -1&\lambda+1 \end{vmatrix}\\ &=\lambda^2+\lambda-6\\ &=(\lambda+3)(\lambda-2). \end{aligned}$$

$2$ 与 $-3$ 是 $B$ 的两个不同特征值。于是，$B$ 相似于对角矩阵

$$\begin{pmatrix} 2&0\\ 0&-3 \end{pmatrix}.$$

由相似关系的传递性可知，

$$\boxed{ A\sim \begin{pmatrix} 2&0\\ 0&-3 \end{pmatrix}}.$$

所以 $A$ 相似于对角矩阵。

七、本地 Wolfram 精确核验

本机 WolframLanguageEvaluator 返回的关键结果如下。

1. 例 3.9

对

$$B= \begin{pmatrix} 2&0&0\\ 1&1&-1\\ 1&2&1 \end{pmatrix},$$

有

$$\chi_B(\lambda) =(\lambda-2)(\lambda^2-2\lambda+3).$$

二次因子的判别式为

$$\Delta=(-2)^2-4\cdot1\cdot3=-8<0,$$

所以唯一实特征值为 $2$。

2. 例 3.10 与例 3.11

对

$$B= \begin{pmatrix} 0&0&0\\ 1&0&3\\ 0&1&-2 \end{pmatrix},$$

有

$$\chi_B(\lambda) =\lambda(\lambda-1)(\lambda+3),$$

并且

$$\det(B+E)=-4.$$

3. 例 3.12

对

$$B= \begin{pmatrix} 0&6\\ 1&-1 \end{pmatrix},$$

有

$$\chi_B(\lambda) =(\lambda-2)(\lambda+3),$$

特征值为 $2,-3$，与原资料结论一致。

八、考场速记

1. 看到 $n$ 个 $n$ 维线性无关向量，先把它们按列组成 $P$。
2. 计算 $AP$，就是让 $A$ 分别作用在 $P$ 的每一列上。
3. 每个 $A\alpha_j$ 的表示系数写入 $B$ 的第 $j$ 列，不能写成行。
4. 向量链中若最高次幂不好处理，就对题设等式移项，把它表示成前面各向量的线性组合。
5. 得到 $AP=PB$ 后，必须先确认 $P$ 可逆，才能写 $P^{-1}AP=B$。
6. 相似之后，特征值、特征多项式、行列式与可对角化问题优先转到 $B$ 上处理。