二阶系统综合整理 | Zemengzhou Space

一、标准形式与参数定义

标准二阶系统闭环传递函数：

\Phi(s)=\frac{\omega_n^2}{s^2+2\zeta\omega_n s+\omega_n^2}

闭环特征方程：

s^2+2\zeta\omega_n s+\omega_n^2=0

两个核心参数：

$\omega_n$ 和 $\zeta$ 不是直接从开环传递函数读出的，而是由闭环特征方程决定的。

通用方法：

若闭环特征方程为：

as^2+bs+c=0

两边除以 $a$ ，化为首一形式：

s^2+\frac{b}{a}s+\frac{c}{a}=0

与标准形式对比，得：

\omega_n=\sqrt{\frac{c}{a}}, \qquad \zeta=\frac{b}{2\sqrt{ac}}

记住： $\omega_n$ 由常数项和二阶项决定， $\zeta$ 还额外依赖一次项系数。

欠阻尼时系统有振荡和超调，以下三个指标最常考：

峰值时间（反映快速性）：

t_p=\frac{\pi}{\omega_n\sqrt{1-\zeta^2}}

最大超调量（反映平稳性）：

\sigma\%=e^{-\frac{\zeta\pi}{\sqrt{1-\zeta^2}}}\times100\%

调节时间（反映快速性，具体看误差带要求）：

t_s\approx\frac{3}{\zeta\omega_n} \quad (5\%误差带), \qquad t_s\approx\frac{4}{\zeta\omega_n} \quad (2\%误差带)

阻尼振荡频率：

\omega_d=\omega_n\sqrt{1-\zeta^2}

完整单位阶跃响应：

c(t)=1-\frac{e^{-\zeta\omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}}\sin(\omega_d t+\beta)

以考研最常见的典型二阶系统为例：

G(s)=\frac{K}{s(Ts+1)}

单位负反馈时，闭环传递函数为：

\Phi(s)=\frac{K}{Ts^2+s+K}

特征方程除以 $T$ 后与标准形式对比，得：

\omega_n=\sqrt{\frac{K}{T}}, \qquad \zeta=\frac{1}{2\sqrt{KT}}

因此：

K\uparrow \;\Rightarrow\; \omega_n\uparrow \;\Rightarrow\; 响应变快

K\uparrow \;\Rightarrow\; \zeta\downarrow \;\Rightarrow\; 振荡加重，超调增大

注意： 这个结论只对”K进入闭环特征方程”的系统成立。遇到具体题目，必须先写出闭环特征方程，再对比标准形式。

稳态误差反映系统的准确性，由系统型别和开环增益共同决定。常用静态误差系数：

K_p=\lim_{s\to0}G(s), \qquad K_v=\lim_{s\to0}sG(s), \qquad K_a=\lim_{s\to0}s^2G(s)

对应稳态误差：

以上述典型系统（Ⅰ型）为例，单位斜坡输入时：

e_{ss}=\frac{1}{K} \;\Rightarrow\; K\uparrow \;\Rightarrow\; e_{ss}\downarrow \;\Rightarrow\; 准确性提高

开环增益的两面性： 增大 $K$ 能减小稳态误差、提高快速性，但同时使阻尼比下降，平稳性变差。动态性能与稳态性能之间存在矛盾，设计时需要权衡。

参数	主要影响	记忆口诀
$\omega_n\uparrow$	响应变快， $t_p$ 、 $t_r$ 减小	$\omega_n$ 管快慢
$\zeta\uparrow$	超调减小，振荡减弱	$\zeta$ 管超调
$\zeta\omega_n\uparrow$	调节时间 $t_s$ 减小	积越大越快稳
$K\uparrow$ （典型系统）	$\omega_n\uparrow$ ， $\zeta\downarrow$ ， $e_{ss}\downarrow$	$K$ 管稳态误差，但副作用是振荡加重

一句话： $\omega_n$ 管快， $\zeta$ 管稳， $K$ 管准——但在典型二阶系统中， $K$ 大了可能更快更准，却也更振。