方程组解的包含与同解：行向量判据、增广矩阵与典型题

方程组的本质是行向量：齐次方程组看系数矩阵，非齐次方程组看增广矩阵；“前者的解均为后者的解”对应单向线性表示，“同解”对应行向量组等价。

来源：邂逅遗憾《26 考研数学思维课·线性代数手稿》，第三章“向量”3.8 节，PDF 第 129—140 页（纸质页码第 123—134 页）。本文按知识逻辑重排，完整保留例 3.29—3.37 的题目和资料所给解答。

验算：使用本机 Wolfram 15 通过 stdio MCP 暴露的 WolframLanguageEvaluator，精确核验了例 3.32 两个非齐次方程组的通解、增广矩阵的行最简形及参数结论；其余结论同时用零空间、行空间与初等变换独立复核。

一、方程组同解的本质

对于方程组而言，每一行代表着一个方程，因此方程组的本质是行向量，解方程也只能做行变换。

因此，方程组同解的充要条件是行向量组等价。齐次方程看系数矩阵即可；非齐次方程则看增广矩阵。

齐次方程组

Ax=0,\qquad Bx=0

同解的充要条件是 $A$ 的行向量组和 $B$ 的行向量组等价，即

r(A)=r(B)=r\begin{pmatrix}A\\B\end{pmatrix}.

等价地， $A$ 可经过初等行变换变成 $B$ ，且 $B$ 也可经过初等行变换变成 $A$ 。

非齐次方程组

Ax=\alpha,\qquad Bx=\beta

同解的充要条件是增广矩阵 $(A,\alpha)$ 与 $(B,\beta)$ 的行向量组等价，即

r(A,\alpha)=r(B,\beta) =r\begin{pmatrix}A&\alpha\\B&\beta\end{pmatrix}.

方程组同解 $\Longleftrightarrow$ 行向量组等价。取逆否命题可得：行向量组不等价 $\Longleftrightarrow$ 方程组不同解。

例 3.29（2022 数一真题）：同解方程的分块构造

选择题

设 $A,B$ 为 $n$ 阶矩阵， $E$ 为 $n$ 阶单位矩阵。若方程组 $Ax=0$ 与 $Bx=0$ 同解，则（　　）。

（A） $\begin{pmatrix}A&O\\E&B\end{pmatrix}y=0$ 只有零解；
（B） $\begin{pmatrix}E&A\\O&AB\end{pmatrix}y=0$ 只有零解；
（C） $\begin{pmatrix}A&B\\O&B\end{pmatrix}y=0$ 与 $\begin{pmatrix}B&A\\O&A\end{pmatrix}y=0$ 同解；
（D） $\begin{pmatrix}AB&B\\O&A\end{pmatrix}y=0$ 与 $\begin{pmatrix}BA&A\\O&B\end{pmatrix}y=0$ 同解。

解答

由 $Ax=0$ 与 $Bx=0$ 同解可知， $A,B$ 的行向量组等价，即二者行向量可以相互表示。

选项 C：初等行变换法。

因为 $A,B$ 行向量组等价，存在矩阵 $X,Y$ ，使 $A=XB$ 、 $B=YA$ 。所以

\begin{pmatrix}A&B\\O&B\end{pmatrix} \longrightarrow \begin{pmatrix}A&O\\O&B\end{pmatrix}, \qquad \begin{pmatrix}B&A\\O&A\end{pmatrix} \longrightarrow \begin{pmatrix}B&O\\O&A\end{pmatrix}.

又因 $A,B$ 行向量组等价，两个对角分块矩阵的行向量组等价，故原来两个分块矩阵的行向量组等价，相应齐次方程组同解。因此 C 正确。

选项 C：拆成具体方程。 令 $y=(y_1^T,y_2^T)^T$ 。第一个方程组等价于

\begin{cases} Ay_1+By_2=0,\\ By_2=0, \end{cases} \iff \begin{cases} Ay_1=0,\\ By_2=0. \end{cases}

第二个方程组等价于

\begin{cases} By_1+Ay_2=0,\\ Ay_2=0, \end{cases} \iff \begin{cases} By_1=0,\\ Ay_2=0. \end{cases}

由 $Ay=0$ 与 $By=0$ 同解可知二者同解。

选项 D。 第一个方程组可化为

\begin{cases} AB y_1+B y_2=0,\\Ay_2=0, \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} AB y_1=0,\\Ay_2=0. \end{cases}

第二个可化为

\begin{cases} BA y_1+A y_2=0,\\By_2=0, \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} BA y_1=0,\\By_2=0. \end{cases}

题设不能推出 $ABx=0$ 与 $BAx=0$ 同解，因此 D 推不出来。A、B 也不能由题设保证只有零解。

故选 C。

例 3.30（余丙森模拟卷）：转置后的同解

选择题

设 $A$ 为 $n$ 阶实矩阵， $E$ 为 $n$ 阶单位矩阵，则（　　）。

（A） $\begin{pmatrix}E&O\\O&A^T\end{pmatrix}x=0$ 与 $\begin{pmatrix}E&A^T\\A&O\end{pmatrix}x=0$ 同解；
（B） $\begin{pmatrix}E&O\\O&A\end{pmatrix}x=0$ 与 $\begin{pmatrix}E&A\\A&O\end{pmatrix}x=0$ 同解；
（C） $\begin{pmatrix}E&O\\O&A^T\end{pmatrix}x=0$ 与 $\begin{pmatrix}E&A^T\\A&A^T\end{pmatrix}x=0$ 同解；
（D） $\begin{pmatrix}E&O\\O&A\end{pmatrix}x=0$ 与 $\begin{pmatrix}E&A^T\\A&A^T\end{pmatrix}x=0$ 同解。

解答

对 A 中右侧系数矩阵作初等行变换：

\begin{pmatrix}E&A^T\\A&O\end{pmatrix} \xrightarrow{R_2-AR_1} \begin{pmatrix}E&A^T\\O&-AA^T\end{pmatrix}.

由基本结论， $A^Ty=0$ 与 $AA^Ty=0$ 同解，即 $A^T$ 与 $AA^T$ 的行向量组等价。因此，上述矩阵对应的齐次方程组与

\begin{pmatrix}E&O\\O&AA^T\end{pmatrix}x=0

同解，而后者又与

\begin{pmatrix}E&O\\O&A^T\end{pmatrix}x=0

同解，故 A 成立。

也可由秩验证：

r\begin{pmatrix}E&O\\O&A^T\end{pmatrix}=n+r(A),

而右侧矩阵经初等行变换后秩为

n+r(AA^T)=n+r(A).

B 不成立，例如取

E=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix},\qquad A=\begin{pmatrix}1&1\\0&0\end{pmatrix}.

C、D 不满足同解所需的三秩相等，也不成立。

故选 A。

二、一个方程组的解均为另一个方程组的解

若某个解向量同时满足方程①②③，则它一定也同时满足方程①②。因此，若 $Ax=0$ 的解均为 $Bx=0$ 的解，就把 $A$ 看成方程①②③，把 $B$ 看成方程①②。

方程组的本质是行向量，①②③的行向量显然可以表示①②的行向量，所以

Ax=0\text{ 的解均为 }Bx=0\text{ 的解} \iff A\text{ 的行向量可以表示 }B\text{ 的行向量}.

等价表述为：

\begin{aligned} &Ax=0\text{ 的解均为 }Bx=0\text{ 的解}\\ \iff{}&\exists P,\ B=PA\\ \iff{}&r\begin{pmatrix}A\\B\end{pmatrix}=r\begin{pmatrix}A\\0\end{pmatrix}=r(A)\\ \iff{}&Ax=0\text{ 与 }\begin{pmatrix}A\\B\end{pmatrix}x=0\text{ 同解}. \end{aligned}

注意方向： $B=PA$ 表示 $B$ 的行向量可被 $A$ 的行向量表示。

对非齐次方程组，同理有

Ax=\alpha\text{ 的解均为 }Bx=\beta\text{ 的解} \iff (A,\alpha)\text{ 的行向量可以表示 }(B,\beta)\text{ 的行向量}.

若记两个解集分别为 $S_1,S_2$ ，联立方程组的解集为 $S_3$ ，则

S_3=S_1\cap S_2.

于是

S_1\subseteq S_2 \iff S_1\cap S_2=S_1,

也就是“ $Ax=\alpha$ 的解均为 $Bx=\beta$ 的解”等价于联立方程组与 $Ax=\alpha$ 同解。

例 3.31（2021 数二真题）：列表示转为转置方程

选择题

设 3 阶矩阵 $A=(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)$ ， $B=(\beta_1,\beta_2,\beta_3)$ 。若向量组 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ 可由向量组 $\beta_1,\beta_2,\beta_3$ 线性表示，则（　　）。

（A） $Ax=0$ 的解均为 $Bx=0$ 的解；
（B） $A^Tx=0$ 的解均为 $B^Tx=0$ 的解；
（C） $Bx=0$ 的解均为 $Ax=0$ 的解；
（D） $B^Tx=0$ 的解均为 $A^Tx=0$ 的解。

解答

$A$ 的列向量可由 $B$ 的列向量线性表示，转置后等价于 $A^T$ 的行向量可由 $B^T$ 的行向量线性表示。

由“前一个系数矩阵的行向量可以表示后一个系数矩阵的行向量”与“前一个方程组的解均为后一个方程组的解”的对应关系，可得

B^Tx=0\text{ 的解均为 }A^Tx=0\text{ 的解}.

故选 D。

例 3.32（2024 数三真题）：非齐次方程组与参数

解答题解答题

设矩阵

A=\begin{pmatrix} 1&-1&0&-1\\ 1&1&0&3\\ 2&1&2&6 \end{pmatrix}, \quad B=\begin{pmatrix} 1&0&1&2\\ 1&-1&a&a-1\\ 2&-3&2&-2 \end{pmatrix},

向量

\alpha=\begin{pmatrix}0\\2\\3\end{pmatrix}, \qquad \beta=\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}.

证明：方程组 $Ax=\alpha$ 的解均为方程组 $Bx=\beta$ 的解；
若方程组 $Ax=\alpha$ 与方程组 $Bx=\beta$ 不同解，求 $a$ 的值。

解答

第 1 问

方法一：增广矩阵的行向量组。

分别对 $(A,\alpha)$ 和 $(B,\beta)$ 作初等行变换：

(A,\alpha)\sim \begin{pmatrix} 1&0&0&1&1\\ 0&1&0&2&1\\ 0&0&1&1&0 \end{pmatrix},

(B,\beta)\sim \begin{pmatrix} 1&0&1&2&1\\ 0&1&0&2&1\\ 0&0&a-1&a-1&0 \end{pmatrix}.

注意到

(1,0,1,2,1)=(1,0,0,1,1)+(0,0,1,1,0),

且 $(B,\beta)$ 其余两行也均可由 $(A,\alpha)$ 的行向量线性表示。因此，无论 $a$ 取何值， $(A,\alpha)$ 的行向量组均能线性表示 $(B,\beta)$ 的行向量组，从而方程组 $Ax=\alpha$ 的解均为方程组 $Bx=\beta$ 的解。

方法二：先求 $Ax=\alpha$ 的解。

由上面的行最简形，令 $x_4=1$ ，可取 $Ax=0$ 的一个基础解向量

\begin{pmatrix}-1\\-2\\-1\\1\end{pmatrix}.

令 $x_4=0$ ，可取 $Ax=\alpha$ 的一个特解

\begin{pmatrix}1\\1\\0\\0\end{pmatrix}.

所以 $Ax=\alpha$ 的通解为

x=k\begin{pmatrix}-1\\-2\\-1\\1\end{pmatrix} +\begin{pmatrix}1\\1\\0\\0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-k+1\\-2k+1\\-k\\k\end{pmatrix}, \quad k\in\mathbb R.

代入 $B$ ：

B\begin{pmatrix}-k+1\\-2k+1\\-k\\k\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}=\beta.

因此， $Ax=\alpha$ 的解均为 $Bx=\beta$ 的解。

方法三：联立方程组。

由第 1 问只需证明联立方程组

\begin{cases} Ax=\alpha,\\ Bx=\beta \end{cases}

与 $Ax=\alpha$ 同解。对纵向拼接的增广矩阵作初等行变换：

\begin{pmatrix}A&\alpha\\B&\beta\end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 1&0&0&1&1\\ 0&1&0&2&1\\ 0&0&1&1&0\\ 0&0&0&0&0\\ 0&0&0&0&0\\ 0&0&0&0&0 \end{pmatrix}.

它与 $(A,\alpha)$ 的行向量组等价，所以联立方程组与 $Ax=\alpha$ 同解，从而 $Ax=\alpha$ 的解均为 $Bx=\beta$ 的解。

第 2 问

方法一。 由第 1 问的行最简形，当 $a\ne1$ 时， $(A,\alpha)$ 与 $(B,\beta)$ 的行向量组等价，从而 $Ax=\alpha$ 与 $Bx=\beta$ 同解；当 $a=1$ 时， $(A,\alpha)$ 的行向量组能线性表示 $(B,\beta)$ 的行向量组，但 $(B,\beta)$ 的行向量组不能线性表示 $(A,\alpha)$ 的行向量组，从而两个方程组不同解。因此

\boxed{a=1}.

方法二。 由第 1 问可知，方程组 $Ax=\alpha$ 的解均为方程组 $Bx=\beta$ 的解。若两个方程组不同解，则 $Ax=\alpha$ 的解集是 $Bx=\beta$ 解集的真子集，进一步可得 $Ax=0$ 的解集是 $Bx=0$ 解集的真子集。由第 1 问可知 $r(A)=3$ ，因此 $r(B)<3$ 。另一方面， $B$ 有非零二阶子式

\begin{vmatrix}1&0\\1&-1\end{vmatrix}=-1,

所以 $r(B)\ge2$ 。对 $B$ 作初等行变换可得

B\sim \begin{pmatrix} 1&0&1&2\\ 0&-1&a-1&a-3\\ 0&0&a-1&a-1 \end{pmatrix}.

所以 $r(B)\ge2$ ，从而 $r(B)=2$ 。由阶梯形矩阵可知， $r(B)=2$ 当且仅当 $a-1=0$ ，即

\boxed{a=1}.

例 3.33（超越模拟卷）：必同解的方程个数

选择题

设 $A,B$ 为 $n$ 阶方阵。若线性方程组 $Ax=0$ 的解都是 $Bx=0$ 的解，则下列线性方程组中与 $Ax=0$ 必同解的个数为（　　）。

$(A+B)x=0$ ；
$ABx=0$ ；
$BAx=0$ ；
$\begin{pmatrix}A-B\\A+B\end{pmatrix}x=0$ ；
$\begin{pmatrix}A\\B\end{pmatrix}x=0$ 。

A. 1；
B. 2；
C. 3；
D. 4。

解答

由 $Ax=0$ 的解都是 $Bx=0$ 的解可知， $A$ 的行向量可以表示 $B$ 的行向量，所以

Ax=0\text{ 与 }\begin{pmatrix}A\\B\end{pmatrix}x=0

同解，故⑤正确。

①②③不能由题设推出，属于干扰项。

对于④，对系数矩阵作初等行变换：

\begin{pmatrix}A-B\\A+B\end{pmatrix} \xrightarrow{R_1+R_2} \begin{pmatrix}2A\\A+B\end{pmatrix} \xrightarrow{\frac12R_1} \begin{pmatrix}A\\A+B\end{pmatrix} \xrightarrow{R_2-R_1} \begin{pmatrix}A\\B\end{pmatrix}.

所以④与⑤同解，也与 $Ax=0$ 同解，④正确。

必同解的是④⑤，共 $2$ 个，故选 B。

三、非齐次方程组有解与列向量表示

$Ax=b$ 有解，当且仅当 $b$ 可以由 $A$ 的列向量线性表示。

这一结论有两种理解角度。

第一种角度是秩判据：

Ax=b\text{ 有解} \iff r(A)=r(A,b).

这意味着增广矩阵 $(A,b)$ 经过初等行变换后， $b$ 列不会产生新的非零行，因此 $b$ 可以由 $A$ 的列向量线性表示。

第二种角度是矩阵乘法。设 $A$ 有 $n$ 列，则

Ax=b

有解，当且仅当存在 $n$ 维列向量 $x$ 使等式成立。矩阵乘法 $Ax$ 本身就是以 $x$ 的分量为系数，对 $A$ 的列向量作线性组合，因此 $b$ 可以由 $A$ 的列向量线性表示。

例 3.34

选择题

设 $A$ 是 $n$ 阶矩阵， $b$ 是 $n$ 维列向量，且 $b$ 与 $A^Tx=0$ 的解均正交，则（　　）。

（A） $A^Tx=0$ 的解与 $A$ 的行向量正交；
（B） $Ax=0$ 的解与 $A$ 的列向量正交；
（C） $A^Tx=b$ 有解；
（D） $Ax=b$ 有解。

解答

$b$ 与 $A^Tx=0$ 的解均正交，即若 $A^Tx=0$ ，则

b^Tx=0.

所以 $A^Tx=0$ 的解均为 $b^Tx=0$ 的解。由齐次方程组解的包含关系可知， $A^T$ 的行向量可以表示 $b^T$ ，也就是 $A$ 的列向量可以表示 $b$ 。因此

Ax=b

有解，故选 D。

四、矩阵乘法与方程组解的传递

设 $A,B$ 为 $n$ 阶矩阵，且 $B$ 可逆，则 $A$ 与 $AB$ 的列向量组等价。因此，若 $Ax=b$ 有解，则 $ABx=b$ 也有解。

另一方面，对方程两边左乘同一个可逆矩阵不会改变解。若 $Ax=b$ 有解，则 $BAx=Bb$ 与 $Ax=b$ 同解；但这不能推出 $BAx=b$ 有解，因为右端也必须同时乘以 $B$ 。

例 3.35

选择题

设 $A$ 为 $n\,(n\ge2)$ 阶矩阵， $B$ 为 $n$ 阶可逆矩阵， $b$ 为 $n$ 维列向量，则下列命题中错误的是（　　）。

（A）若方程组 $Ax=b$ 有解，则方程组 $ABx=b$ 有解；
（B）若方程组 $Ax=b$ 有解，则方程组 $BAx=b$ 有解；
（C）若方程组 $Ax=0$ 有非零解，则方程组 $ABx=0$ 有非零解；
（D）若方程组 $Ax=0$ 有非零解，则方程组 $BAx=0$ 有非零解。

解答

依次分析各选项。

若方程组 $Ax=b$ 有解，则可以设 $n$ 维列向量 $\xi$ 为该方程组的一个解，从而 $A\xi=b$ 。于是

AB(B^{-1}\xi)=A\xi=b.

由此可得 $B^{-1}\xi$ 是方程组 $ABx=b$ 的一个解。因此，若方程组 $Ax=b$ 有解，则方程组 $ABx=b$ 也有解，选项 A 正确。

实际上，由 $B$ 可逆可知， $A$ 与 $AB$ 的列向量组等价，从而若 $A$ 的列向量组能表示 $b$ ，则 $AB$ 的列向量组也能表示 $b$ ，即方程组 $ABx=b$ 有解。

$B$ 选项无法保证。 $A$ 左乘可逆矩阵 $B$ ，相当于进行了若干次初等行变换。虽然初等行变换不改变列向量之间的线性相关性，但会改变列向量本身。原本某两列相关，变换之后仍然相关；但原本能够表示出来 $b$ ，不代表变换后还能表示出来 $b$ 。

例如，取

n=2, \qquad A=\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}, \qquad B=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}, \qquad b=\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}.

此时 $Ax=b$ 有解；但方程组 $BAx=b$ 的增广矩阵为

(BA,b)= \begin{pmatrix} 1&0&0\\ 0&0&1 \end{pmatrix},

有 $r(BA,b)>r(BA)$ ，于是 $BAx=b$ 无解。该例说明选项 B 错误。

若方程组 $Ax=0$ 有非零解，则

r(A)<n.

因为 $B$ 可逆，所以

r(AB)=r(BA)=r(A)<n.

故方程组 $ABx=0$ 和 $BAx=0$ 都有非零解，选项 C、D 正确。

综上，错误的是 B。

五、利用向量表示关系凑方程组的解

若题目给出了 $A$ 的列向量之间的线性表示关系，就可以把这些关系直接改写为 $Ax=0$ 的解；若又给出 $\beta$ 是若干列向量的线性组合，则可以直接凑出 $Ax=\beta$ 的一个特解。

例 3.36（2017 数二真题）

解答题解答题

设三阶矩阵

A=(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)

有 3 个不同的特征值，且

\alpha_3=\alpha_1+2\alpha_2.

证明 $r(A)=2$ ；
若 $\beta=\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3$ ，求方程组 $Ax=\beta$ 的通解。

解答

第（1）问要证明 $A$ 的秩为 2，可以转化为证明 $A$ 的行列式为零。

法一： 由于 $A$ 有 3 个不同的特征值 $\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3$ ，故 $A$ 相似于对角矩阵，且至多仅有一个零特征值。因此

r(A)\ge2.

又因为 $\alpha_3=\alpha_1+2\alpha_2$ ，所以 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ 线性相关，

|A|=0,

于是 $r(A)\le2$ 。因此

\boxed{r(A)=2}.

法二： 也可以证明 $0$ 是 $A$ 的一个特征值。由

\alpha_3=\alpha_1+2\alpha_2

知

(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3) \begin{pmatrix}1\\2\\-1\end{pmatrix} =0 =0\begin{pmatrix}1\\2\\-1\end{pmatrix}.

于是， $0$ 是 $A$ 的一个特征值， $(1,2,-1)^T$ 是 $A$ 的属于特征值 $0$ 的一个特征向量。结合 $A$ 有 3 个不同的特征值可知，其余两个特征值均非零，故 $r(A)=2$ 。

第（2）问考虑 $Ax=0$ 。由于 $r(A)=2$ ，故 $Ax=0$ 的基础解系中只包含一个向量。又因为

\alpha_3=\alpha_1+2\alpha_2,

所以 $(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)(1,2,-1)^T=0$ ，即 $(1,2,-1)^T$ 是该齐次线性方程组的一个基础解系。

由于

\beta=\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3,

即

(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)(1,1,1)^T=\beta,

故 $(1,1,1)^T$ 是 $Ax=\beta$ 的一个特解。因此，方程组的通解为

\boxed{x=k\begin{pmatrix}1\\2\\-1\end{pmatrix} +\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix},\qquad k\in\mathbb R.}

注：对于可对角化矩阵，其秩等于非零特征值的个数；但对于一般矩阵，该结论不一定成立。例如
$A=\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&0\\0&0&1\end{pmatrix}$
只有一个非零特征值，但 $r(A)=2$ 。

六、被两组向量同时表示：转化为齐次方程组

若 $\gamma$ 既可由 $\alpha_1,\alpha_2$ 线性表示，也可由 $\beta_1,\beta_2$ 线性表示，则存在 $k_1,k_2,l_1,l_2$ ，使得

\gamma=k_1\alpha_1+k_2\alpha_2 =l_1\beta_1+l_2\beta_2.

于是

k_1\alpha_1+k_2\alpha_2-l_1\beta_1-l_2\beta_2=0.

这就把“同时表示”转化为齐次方程组。

例 3.37（2023 数一、数二、数三真题）

选择题

已知向量

\alpha_1=\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}, \quad \alpha_2=\begin{pmatrix}2\\1\\1\end{pmatrix}, \quad \beta_1=\begin{pmatrix}2\\5\\9\end{pmatrix}, \quad \beta_2=\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}.

若 $\gamma$ 既可由 $\alpha_1,\alpha_2$ 线性表示，也可由 $\beta_1,\beta_2$ 线性表示，则 $\gamma=$ （　　）。

（A） $k\begin{pmatrix}3\\3\\4\end{pmatrix},\ k\in\mathbb R$ ；
（B） $k\begin{pmatrix}3\\5\\10\end{pmatrix},\ k\in\mathbb R$ ；
（C） $k\begin{pmatrix}-1\\1\\2\end{pmatrix},\ k\in\mathbb R$ ；
（D） $k\begin{pmatrix}1\\5\\8\end{pmatrix},\ k\in\mathbb R$ 。

解答

由于 $\gamma$ 既可由 $\alpha_1,\alpha_2$ 线性表示，也可由 $\beta_1,\beta_2$ 线性表示，故存在 $k_1,k_2,l_1,l_2$ ，使得

\gamma=k_1\alpha_1+k_2\alpha_2 =l_1\beta_1+l_2\beta_2.

于是， $(k_1,-l_1,k_2,-l_2)^T$ 是齐次线性方程组

(\alpha_1,\beta_1,\alpha_2,\beta_2)x=0

的解。记

A=(\alpha_1,\beta_1,\alpha_2,\beta_2) =\begin{pmatrix} 1&2&2&1\\ 2&5&1&0\\ 3&9&1&1 \end{pmatrix}.

对 $A$ 作初等行变换：

A \longrightarrow \begin{pmatrix} 1&2&2&1\\ 0&1&-3&-2\\ 0&3&-5&-2 \end{pmatrix} \longrightarrow \begin{pmatrix} 1&0&8&5\\ 0&1&-3&-2\\ 0&0&4&4 \end{pmatrix}

\longrightarrow \begin{pmatrix} 1&0&0&-3\\ 0&1&0&1\\ 0&0&1&1 \end{pmatrix}.

取 $x_4=1$ ，可得

\xi=(3,-1,-1,1)^T

为该方程组的一个基础解系，从而

(k_1,-l_1,k_2,-l_2)^T =k(3,-1,-1,1)^T, \qquad k\in\mathbb R.

因此

\gamma=k_1\alpha_1+k_2\alpha_2 =3k\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix} -k\begin{pmatrix}2\\1\\1\end{pmatrix} =k\begin{pmatrix}1\\5\\8\end{pmatrix}, \qquad k\in\mathbb R.

故选 D。

七、本地 Wolfram 精确核验

本机 WolframLanguageEvaluator 对例 3.32 返回：

(A,\alpha)\sim \begin{pmatrix} 1&0&0&1&1\\ 0&1&0&2&1\\ 0&0&1&1&0 \end{pmatrix},

并给出

Ax=\alpha \iff \begin{cases} x_2=2x_1-1,\\ x_3=x_1-1,\\ x_4=1-x_1. \end{cases}

在 $a=1$ 时，

(B,\beta)\sim \begin{pmatrix} 1&0&1&2&1\\ 0&1&0&2&1\\ 0&0&0&0&0 \end{pmatrix},

其解集比 $Ax=\alpha$ 的解集多一个自由度；而当 $a\ne1$ 时，其解同样满足上述三式。因此，两个方程组仅在 $a=1$ 时不同解，精确计算与资料结论一致。

八、考场速记

齐次方程组看系数矩阵；非齐次方程组看增广矩阵。
“ $A$ 方程的解均为 $B$ 方程的解”对应 $A$ 的行向量可以表示 $B$ 的行向量。
“同解”对应两个相关行向量组等价，也就是可以相互表示。
列向量的表示关系先取转置，再用行向量与方程组解集的结论。
分块方程组既可做初等行变换，也可拆成关于分块未知向量的具体方程。
参数题先判单向包含，再用秩、行空间或通解判断何时反向包含。
$Ax=b$ 有解，当且仅当 $b$ 可以由 $A$ 的列向量线性表示。
右乘可逆矩阵不改变列空间；左乘可逆矩阵时，若要保持方程同解，右端也必须同步左乘。
已知列向量表示关系时，可直接把系数凑成齐次方程的基础解系或非齐次方程的特解。

Zemengzhou Space

ギターと孤独と蒼い惑星

方程组解的包含与同解：行向量判据、增广矩阵与典型题

方程组解的包含与同解：行向量判据、增广矩阵与典型题

一、方程组同解的本质

例 3.29（2022 数一真题）：同解方程的分块构造

例 3.30（余丙森模拟卷）：转置后的同解

二、一个方程组的解均为另一个方程组的解

例 3.31（2021 数二真题）：列表示转为转置方程

例 3.32（2024 数三真题）：非齐次方程组与参数

第 1 问

第 2 问

例 3.33（超越模拟卷）：必同解的方程个数

三、非齐次方程组有解与列向量表示

例 3.34

四、矩阵乘法与方程组解的传递

例 3.35

五、利用向量表示关系凑方程组的解

例 3.36（2017 数二真题）

六、被两组向量同时表示：转化为齐次方程组

例 3.37（2023 数一、数二、数三真题）

七、本地 Wolfram 精确核验

八、考场速记

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