$n$ 项连乘求导

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n 项连乘，让你求函数在某一点处的导数，并且在该点处，其中某一项因式的结果为 0，通常来说处理手法有两种：

方法1：利用导数定义式直接求解 $f'(x_0)$

方法2：求 $f'(x_0)$，令 $f(x)=g(x)h(x)$，其中 $g(x_0)=0$

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例 2.43

【例 1】 设函数 $f(x)=(e^{x}-1)(e^{2x}-2)\cdots(e^{nx}-n)$，其中 $n$ 为正整数，则 $f'(0)=$ A

(A) $(-1)^{n-1}(n-1)!$. (B) $(-1)^n(n-1)!$. (C) $(-1)^{n-1}n!$. (D) $(-1)^n n!$.

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方法1（利用等价无穷小）$f'(0) = \lim\limits_{x\to 0} \frac{f(x)-f(0)}{x} = \lim\limits_{x\to 0} \frac{(e^{x}-1)(e^{2x}-2)\cdots(e^{nx}-n)}{x} = (-1)(-2)\cdots[-(n-1)] = (-1)^{n-1}\cdot(n-1)!$

方法2 令 $g(x)=e^{x}-1,\ g(0)=0,\ h(x)=(e^{2x}-2)\cdots(e^{nx}-n)$

$f(x)=g(x)\cdot h(x),\ f'(x)=g'(x)\cdot h(x)+g(x)\cdot h'(x)$

$\therefore f'(0)=g'(0)\cdot h(0)+g(0)\cdot h'(0)$

$=g'(0)\cdot h(0)$ （$g'(x)=e^{x},\ g'(0)=1$）

$=1 \times (-1)(-2)\cdots[-(n-1)]$

$=(-1)^{n-1}\cdot(n-1)!$