反函数与参数方程求导

对比速记

	反函数	参数方程
一阶导	$\dfrac{dx}{dy}=\dfrac{1}{y'}$	$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{y'}{x'}$
二阶导	$\dfrac{d^2x}{dy^2}=-\dfrac{y''}{(y')^3}$	$\dfrac{d^2y}{dx^2}=\dfrac{x'y''-y'x''}{(x')^3}$

注意：反函数里 $y',y''$ 是对 $x$ 求导；参数方程里 $x',y'$ 是对参数 $t$ 求导。

设

$y=f(x),\quad x=\varphi(y)=f^{-1}(y)$

如果 $f'(x)\neq 0$ ，则反函数可导。

$\frac{dx}{dy}=\frac{1}{\dfrac{dy}{dx}}$

也就是：

$\varphi'(y)=\frac{1}{f'(x)}$

其中 $x=\varphi(y)$ 。

记忆： 反函数的一阶导 = 原函数导数的倒数。

由

$\frac{dx}{dy}=\frac{1}{f'(x)}$

继续对 $y$ 求导：

$\frac{d^2x}{dy^2} = -\frac{f''(x)}{[f'(x)]^3}$

即

$\varphi''(y) = -\frac{f''(x)}{[f'(x)]^3}$

记忆： 反函数二阶导 = 负的原函数二阶导，除以原函数一阶导的三次方。

设参数方程为

$\begin{cases} x=x(t)\\ y=y(t) \end{cases}$

且 $x'(t)\neq 0$ 。

$\frac{dy}{dx} = \frac{\dfrac{dy}{dt}}{\dfrac{dx}{dt}} = \frac{y'(t)}{x'(t)}$

记忆： 对 $x$ 求导，就是先对 $t$ 求导，再相除。

二阶导是：

$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right)$

因为

$\frac{d}{dx} = \frac{1}{x'(t)}\frac{d}{dt}$

所以

$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{1}{x'(t)}\frac{d}{dt}\left(\frac{y'(t)}{x'(t)}\right)$

展开得：

$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{x'(t)y''(t)-y'(t)x''(t)}{[x'(t)]^3}$

记忆： 参数方程二阶导，不是 $\dfrac{y''}{x''}$ 。