三角函数中的特殊类型

形如

$$\int \frac{C\sin x+D\cos x}{A\sin x+B\cos x}\,dx$$

的积分，核心技巧是将分子配凑为

$$\text{分子} = M\times\text{分母} + N\times\text{分母的导数}$$

这样积分立刻拆成 $M\cdot x$ 和 $N\cdot\ln|\text{分母}|$ 两部分。

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（Ⅰ）$\displaystyle\int \dfrac{\sin x}{\sin x+\cos x}\,dx$

设

$$\sin x = M(\sin x+\cos x)+N(\cos x-\sin x) = (M-N)\sin x+(M+N)\cos x$$

比较系数：

$$\begin{cases} M-N=1 \\ M+N=0 \end{cases} \implies M=\dfrac12,\quad N=-\dfrac12$$

代入得

$$\int \frac{\sin x}{\sin x+\cos x}\,dx = \int \frac{\frac12(\sin x+\cos x)}{\sin x+\cos x}\,dx + \int \frac{-\frac12(\cos x-\sin x)}{\sin x+\cos x}\,dx$$ $$= \frac12 x - \frac12\ln|\sin x+\cos x| + C$$

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（Ⅱ）$\displaystyle\int \dfrac{3\sin x+\cos x}{\sin x+2\cos x}\,dx$

注意分母的导数为 $\cos x - 2\sin x$，设

$$3\sin x+\cos x = M(\sin x+2\cos x)+N(\cos x-2\sin x) = (M-2N)\sin x+(2M+N)\cos x$$

比较系数：

$$\begin{cases} M-2N=3 \\ 2M+N=1 \end{cases} \implies M=1,\quad N=-1$$

代入得

$$\int \frac{3\sin x+\cos x}{\sin x+2\cos x}\,dx = \int \frac{\sin x+2\cos x}{\sin x+2\cos x}\,dx + \int \frac{-(\cos x-2\sin x)}{\sin x+2\cos x}\,dx$$ $$= x - \ln|\sin x+2\cos x| + C$$