二重积分计算：利用对称性

题目

(李林880)(IV) 设 $D: -1 \leqslant x \leqslant \sin y, |y| \leqslant \frac{\pi}{2}$, 求 $I = \iint_{D} x\left(\mathrm{e}^{x^{2}+\cos y} \sin y - 1\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$.

考点

• 区域对称性
• 被积函数的奇偶性
• 二重积分拆分

解答

如图 6-19 所示，作辅助线 $y = -\arcsin x (-1 \leqslant x \leqslant 0)$，将 $D$ 划分为 $D_1$ 与 $D_2$，则

$$\begin{aligned} I &= \iint_{D} x\left(\mathrm{e}^{x^{2}+\cos y} \sin y - 1\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \\ &= \iint_{D} x \mathrm{e}^{x^{2}+\cos y} \sin y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y - \iint_{D} x \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \\ &= I_1 - I_2 \end{aligned}$$

其中

$$I_1 = \iint_{D} x \mathrm{e}^{x^{2}+\cos y} \sin y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y = \iint_{D_1} x \mathrm{e}^{x^{2}+\cos y} \sin y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y + \iint_{D_2} x \mathrm{e}^{x^{2}+\cos y} \sin y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$$

由 $D_1$ 关于 $y$ 轴对称，$x \mathrm{e}^{x^{2}+\cos y} \sin y$ 关于 $x$ 是奇函数，故

$$\iint_{D_1} x \mathrm{e}^{x^{2}+\cos y} \sin y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y = 0$$

同理，$\iint_{D_2} x \mathrm{e}^{x^{2}+\cos y} \sin y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y = 0$，故 $I_1 = 0$。

对于 $I_2$：

$$I_2 = \iint_{D} x \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y = \iint_{D_1} x \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y + \iint_{D_2} x \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$$

根据对称性，$\iint_{D_1} x \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y = 0$。又

$$\iint_{D_2} x \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y = 2 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \mathrm{d} y \int_{-1}^{-\sin y} x \mathrm{~d} x = -\frac{\pi}{4}$$

所以 $I = 0 - (-\frac{\pi}{4}) = \frac{\pi}{4}$。