矩阵秩与线性相关性判断

题目

设 $A, B, C$ 均为实矩阵，$tr(CC^T)=0$，$AB=C$，且 $A$ 和 $B$ 均不是零矩阵，则（ ）

(A) $A$ 的列向量组线性相关，$B$ 的行向量组线性相关

(B) $A$ 的列向量组线性相关，$B$ 的列向量组线性相关

(C) $A$ 的行向量组线性相关，$B$ 的行向量组线性相关

(D) $A$ 的行向量组线性相关，$B$ 的列向量组线性相关

考点

• 矩阵的迹
• 矩阵乘积为零矩阵的性质
• 矩阵的秩
• 向量组的线性相关性

解答

由 $tr(CC^T)=0$ 可知 $C=O$（零矩阵），故 $AB=O$。 设 $A$ 为 $m \times n$ 矩阵，$B$ 为 $n \times l$ 矩阵。 根据 Sylvester 不等式（或秩的性质）：$r(A) + r(B) \le n$。 因为 $A, B$ 均不是零矩阵，所以 $r(A) \ge 1$，$r(B) \ge 1$。 由此可得 $r(A) < n$ 且 $r(B) < n$。 $r(A) < n$ 意味着 $A$ 的列向量组线性相关； $r(B) < n$ 意味着 $B$ 的行向量组线性相关。 故选 (A)。