2014年考研数学真题：向量组线性无关的充要条件

题目

设 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 均为 3 维向量，则对任意常数 $k, l$，向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1 + k\boldsymbol{\alpha}_3, \boldsymbol{\alpha}_2 + l\boldsymbol{\alpha}_3$ 线性无关是向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 线性无关的（ ）

(A) 必要非充分条件

(B) 充分非必要条件

(C) 充分必要条件

(D) 既非充分也非必要条件

考点

• 利用矩阵乘法表示向量组变换
• 矩阵乘积的秩的性质
• 线性无关的充要条件判定

解答

解题思路与步骤：

1. 构造矩阵关系： 设 $A = (\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3)$，$C = (\boldsymbol{\alpha}_1 + k\boldsymbol{\alpha}_3, \boldsymbol{\alpha}_2 + l\boldsymbol{\alpha}_3)$。 可以将 $C$ 表示为 $A$ 与另一个矩阵 $B$ 的乘积： $C = A B = (\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3) \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ k & l \end{pmatrix}$ 其中 $B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ k & l \end{pmatrix}$ 是一个 $3 \times 2$ 的矩阵。

2. 分析矩阵 $B$ 的秩： 由于 $B$ 的前两行构成单位矩阵，显然 $r(B) = 2$（满列秩）。

3. 判断充分性（由 $C$ 推 $A$）： 若向量组 $C$ 线性无关，即 $r(C) = 2$。 根据矩阵秩的性质 $r(AB) \leq r(A)$，可得 $r(A) \geq r(AB) = 2$。 这意味着 $r(A)$ 可能是 2 也可能是 3。

   • 若 $r(A)=2$，则 $A$ 线性相关。
   • 若 $r(A)=3$，则 $A$ 线性无关。 因此，由 $C$ 线性无关推不出 $A$ 一定线性无关（例如取 $\boldsymbol{\alpha}_3 = \mathbf{0}$，此时 $C$ 仍可能无关但 $A$ 相关）。所以不是充分条件。

4. 判断必要性（由 $A$ 推 $C$）： 若向量组 $A$ 线性无关，即 $r(A) = 3$（满秩）。 根据矩阵秩的性质 $r(AB) = r(B)$（当 $A$ 可逆时），可得 $r(C) = r(AB) = r(B) = 2$。 因为 $C$ 只有 2 个向量且秩为 2，所以 $C$ 线性无关。 所以是必要条件。

结论： 综上所述，“向量组 $C$ 线性无关”是“向量组 $A$ 线性无关”的必要非充分条件。

答案：(A)