极值的基础概念

1 单调性的判别

设函数 $y=f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，在 $(a,b)$ 内可导.
①如果在 $(a,b)$ 内 $f'(x)\ge 0$ ，且等号仅在有限个点处成立，那么函数 $y=f(x)$ 在 $[a,b]$ 上严格单调增加；
②如果在 $(a,b)$ 内 $f'(x)\le 0$ ，且等号仅在有限个点处成立，那么函数 $y=f(x)$ 在 $[a,b]$ 上严格单调减少.

注导数为 0 仅能说明在某点处的函数值变化充分小，而不能说明没变化，即导数大于 0 一定严格单调增加，而严格单调增加不一定导数大于 0.
例如，函数 $y=x^3$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上连续且可导，且导函数 $y'=3x^2\ge 0$ ，等号仅在 $x=0$ 处成立，则函数 $y=x^3$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上严格单调增加. 任意 $\delta>0$ ，这个 $\delta$ 是一个无穷小量， $f(x)=x^3$ 在 $x=0$ 处导数为 0，代表 $f(\delta)-f(0)$ 和 $f(0)-f(-\delta)$ 都是无穷小量，即 $f(x)=x^3$ 在 $x=0$ 的无穷小邻域内，函数值变化率极小，所以 $f(x)=x^3$ 在 $x=0$ 处导数值为 0

2 一阶可导点是极值点的必要条件

设 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处可导，且在点 $x_0$ 处取得极值，则必有 $f'(x_0)=0$ .

→费马定理，此处不证明.

找极值时的两种情况：①驻点；②不可导点. 不可导点也可以是极值点/拐点

3 极值的三大充分条件

① 判别极值的第一充分条件

设 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处连续，且在 $x_0$ 的某去心邻域 $\mathring{U}(x_0,\delta)(\delta>0)$ 内可导.
①若 $x\in(x_0-\delta,x_0)$ 时， $f'(x)<0$ ，而 $x\in(x_0,x_0+\delta)$ 时， $f'(x)>0$ ，则 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处取得极小值；
②若 $x\in(x_0-\delta,x_0)$ 时， $f'(x)>0$ ，而 $x\in(x_0,x_0+\delta)$ 时， $f'(x)<0$ ，则 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处取得极大值；
③若 $f'(x)$ 在 $(x_0-\delta,x_0)$ 和 $(x_0,x_0+\delta)$ 内不变号，则点 $x_0$ 不是极值点.

注 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处不一定可导，可能出现角点.

② 判别极值的第二充分条件

设 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处二阶可导，且 $f'(x_0)=0$ ， $f''(x_0)\ne 0$ .
①若 $f''(x_0)<0$ ，则 $f(x)$ 在 $x_0$ 处取得极大值；
②若 $f''(x_0)>0$ ，则 $f(x)$ 在 $x_0$ 处取得极小值.

借助保号性推导：设 $f''(x_0)=\lim\limits_{x\to x_0}\frac{f'(x)-f'(x_0)}{x-x_0}=\lim\limits_{x\to x_0}\frac{f'(x)}{x-x_0}>0$ ，由保号性可知：
(1) 当 $x\in(x_0-\delta,x_0)$ 时， $x-x_0<0$ ，从而 $f'(x)<0$ ，所以 $f(x)$ 在 $x_0$ 的左邻域单调递减；
(2) 当 $x\in(x_0,x_0+\delta)$ 时， $x-x_0>0$ ，从而 $f'(x)>0$ ，所以 $f(x)$ 在 $x_0$ 的右邻域单调递增.
所以 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处取得极小值.
同理，当 $f''(x_0)<0$ 时， $f(x)$ 在 $x_0$ 处取得极大值.

上述第二充分条件可以推广为第三充分条件.

（右侧手写：若 $f(x)$ 可导，则极值点是邻域内 $f'(x)$ 变号的点；极值点可以是不可导点）

③ 判别极值的第三充分条件

设 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处 $n$ 阶可导，且 $f^{(m)}(x_0)=0\ (m=1,2,\dots,n-1)$ ， $f^{(n)}(x_0)\ne 0\ (n\ge 2)$ ，则
①当 $n$ 为偶数且 $f^{(n)}(x_0)<0$ 时， $f(x)$ 在 $x_0$ 处取得极大值；
②当 $n$ 为偶数且 $f^{(n)}(x_0)>0$ 时， $f(x)$ 在 $x_0$ 处取得极小值.

（手写旁注：举 $n=2$ 的特例来记忆）