高阶系统闭环主导极点及其动态性能分析

一、高阶系统的标准形式

控制系统的输出信号与输入信号之间的关系由三阶或三阶以上的高阶微分方程描述的系统。

\Phi(s)=\frac{b_m s^m+b_{m-1}s^{m-1}+\cdots+b_1s+b_0}{a_n s^n+a_{n-1}s^{n-1}+\cdots+a_1s+a_0} =K_1\frac{\prod_{j=1}^{m}(s-z_j)}{\prod_{i=1}^{n}(s-p_i)} \quad (n\ge m)

其中 $p_i$ 为闭环极点， $z_j$ 为闭环零点， $K_1=\dfrac{b_m}{a_n}$ 为闭环传递系数。

在所有闭环极点中，若距虚轴最近的极点附近没有闭环零点，且其他极点到虚轴的距离是它的 3~5 倍以上，则该极点对系统响应起主导作用，称为闭环主导极点。

主导极点可以是实数极点，也可以是一对共轭复数极点，或者两者的组合，数量可以是一个或多个。

除主导极点以外的其他闭环极点称为非主导极点。由于它们距虚轴较远，对应的响应分量衰减很快，对系统总体响应影响较小，工程上通常忽略。

若某对零极点之间的距离远小于它们各自到原点的距离（相差约一个数量级），则称该零极点对为偶极子。偶极子的作用近似相互抵消，可忽略其对应分量的影响。

在控制工程中，一般认为，若高阶系统可以找到闭环主导极点满足：

① 距虚轴最近，且附近无闭环零点；

② 其它闭环极点到虚轴的距离都比该闭环主导极点到虚轴距离一般大3-5倍以上。

1）闭环零点影响。减小峰值时间，使系统响应速度加快，超调量 $\sigma\%$ 增大。这表明闭环零点会减小系统阻尼，并且这种作用将随闭环零点接近虚轴而加剧。因此，配置闭环零点时，要折中考虑闭环零点对系统响应速度和阻尼程度的影响。

2）闭环非主导极点影响。增大峰值时间，使系统响应速度变缓，但可以使超调量 $\sigma\%$ 减小。这表明闭环非主导极点可以增大系统阻尼，且这种作用将随闭环极点接近虚轴而加剧。

3）若闭环零、极点彼此接近，则它们对系统响应速度的影响会相互削弱。