5.3 特征向量必须是非零向量

定义要求：特征向量必须是非零向量。

来源：邂逅遗憾《26 考研数学思维课·线性代数手稿》，第五章“相似”5.3 节，PDF 第 14 页（纸质页码第 176 页）。

一、定义要求

若

$$A\alpha=\lambda\alpha,$$

还必须满足 $\alpha\ne0$，才能称 $\alpha$ 为矩阵 $A$ 属于特征值 $\lambda$ 的特征向量。零向量满足任何齐次矩阵等式，却不是任何矩阵的特征向量。

二、用定义判断线性组合是否为特征向量

原资料提示：$kA+\mu E$ 的特征向量和 $A$ 的特征向量相同，所以只需判断给出的向量是不是 $A$ 的特征向量。C 项错误的原因在于它可能是零向量。

选择题例 5.4（李林 880，单选题）

设 $A$ 为 $3$ 阶方阵，$A$ 的三个特征值为 $1,1,2$，$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ 分别为对应的三个特征向量，则（　　）。

• A. $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ 必为 $2E-A$ 的特征向量
• B. $\alpha_1+\alpha_3$ 必为 $2E-A$ 的特征向量
• C. $\alpha_1-\alpha_2$ 必为 $2E-A$ 的特征向量
• D. $\alpha_1,\alpha_2$ 必为 $2E-A$ 的特征向量，$\alpha_3$ 不是 $2E-A$ 的特征向量

解答

答案为 A。

$A$ 为抽象矩阵，用定义验证。由已知，有

$$A\alpha_1=\alpha_1,\qquad A\alpha_2=\alpha_2,\qquad A\alpha_3=2\alpha_3.$$

故

$$(2E-A)\alpha_1 =2\alpha_1-A\alpha_1 =2\alpha_1-\alpha_1 =\alpha_1,$$ $$(2E-A)\alpha_2 =2\alpha_2-A\alpha_2 =2\alpha_2-\alpha_2 =\alpha_2,$$ $$(2E-A)\alpha_3 =2\alpha_3-A\alpha_3 =2\alpha_3-2\alpha_3 =0\alpha_3.$$

所以 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ 都是 $2E-A$ 的特征向量。

B 项中，属于不同特征值的特征向量的非零线性组合一般不是特征向量。C 项中，$\alpha_1-\alpha_2$ 可能为零向量；例如 $\alpha_1=\alpha_2$ 时便不满足特征向量必须非零的定义要求。D 项错误，因为 $\alpha_3$ 是 $2E-A$ 属于特征值 $0$ 的特征向量。