5.7 类秩一矩阵的特征值快速计算

把等对角、等非对角矩阵拆成全一矩阵与数量矩阵之和，可直接平移特征值。

来源：邂逅遗憾《26 考研数学思维课·线性代数手稿》，第五章“相似”5.7 节，PDF 第 27 页（纸质页码第 190 页）。

验算：使用本机 MATLAB R2024b 核验了全一矩阵的特征值为 $0,0,3$ 。

一、用结构分解判断惯性指数

选择题例 5.22（2016 数二、数三真题，单选题）

设二次型

f(x_1,x_2,x_3) =a(x_1^2+x_2^2+x_3^2) +2x_1x_2+2x_2x_3+2x_1x_3

的正、负惯性指数分别为 $1,2$ ，则（　　）。

解答

答案为 C。

二次型的矩阵为

A= \begin{pmatrix} a&1&1\\ 1&a&1\\ 1&1&a \end{pmatrix} = \underbrace{ \begin{pmatrix} 1&1&1\\ 1&1&1\\ 1&1&1 \end{pmatrix}}_{B} +(a-1)E.

矩阵 $B$ 为秩一矩阵，且

r(B)=1,\qquad \operatorname{tr}(B)=3,

所以 $B$ 的特征值为

0,\ 0,\ 3.

因此 $A=B+(a-1)E$ 的特征值为

a-1,\quad a-1,\quad a+2.

正、负惯性指数分别为 $1,2$ ，故需要一个正特征值、两个负特征值：

\begin{cases} a+2>0,\\ a-1<0. \end{cases}

解得

\boxed{-2<a<1}.

也可直接计算

|\lambda E-A| = \begin{vmatrix} \lambda-a&-1&-1\\ -1&\lambda-a&-1\\ -1&-1&\lambda-a \end{vmatrix} =(\lambda-a+1)^2(\lambda-a-2),

得到相同结论。