5.6 秩一矩阵相似对角化结论的证明

秩一矩阵 $A$ 可相似对角化的充要条件是 $\operatorname{tr}(A)\ne0$。

来源：邂逅遗憾《26 考研数学思维课·线性代数手稿》，第五章“相似”5.6 节，PDF 第 27 页（纸质页码第 189 页）。

原资料提醒：秩一矩阵的任何结论，在大题中都不能直接使用，应给出推导。

一、证明

由

$$r(A)=1$$

可得

$$|A|=0,$$

所以 $0$ 必为 $A$ 的特征值。

又由 $r(A)=1$，方程组 $Ax=0$ 的基础解系中有 $n-1$ 个线性无关的解向量。因此，$\lambda=0$ 对应 $n-1$ 个线性无关的特征向量，从而 $\lambda=0$ 至少是 $n-1$ 重特征值，因为代数重数不小于几何重数。

由秩一矩阵的基本结论可知，

$$\lambda_1=\lambda_2=\cdots=\lambda_{n-1}=0, \qquad \lambda_n=\operatorname{tr}(A).$$

若

$$\lambda_n=\operatorname{tr}(A)=0,$$

则 $\lambda=0$ 为 $n$ 重特征值，但只对应 $n-1$ 个线性无关的特征向量，此时 $A$ 无法相似对角化。

若

$$\lambda_n=\operatorname{tr}(A)\ne0,$$

则 $\lambda=0$ 为 $n-1$ 重特征值，且对应 $n-1$ 个线性无关的特征向量；另一特征值 $\operatorname{tr}(A)$ 还能对应一个与它们线性无关的特征向量，此时 $A$ 可以相似对角化。

反过来，若矩阵 $A$ 可以相似对角化，则 $k$ 重特征值必须对应 $k$ 个线性无关的特征向量。已知 $\lambda=0$ 只对应 $n-1$ 个线性无关的特征向量，所以 $0$ 必为 $n-1$ 重而不能是 $n$ 重，即

$$\lambda_n=\operatorname{tr}(A)\ne0.$$

因此，秩一矩阵 $A$ 可相似对角化的充要条件为

$$\boxed{\operatorname{tr}(A)\ne0}.$$