秩不等式证明：两个秩一矩阵相加

设 $\alpha, \beta$ 为 3 维列向量，矩阵 $A = \alpha\alpha^T + \beta\beta^T,$ 其中 $\alpha^T, \beta^T$ 分别是 $\alpha, \beta$ 的转置。证明：

1. $r(A) \leq 2$;
2. 若 $\alpha, \beta$ 线性相关，则 $r(A) < 2$。

解答

由秩不等式，有 $r(A) = r(\alpha\alpha^T + \beta\beta^T) \leq r(\alpha\alpha^T) + r(\beta\beta^T) \leq r(\alpha) + r(\beta) \leq 2.$

若 $\alpha, \beta$ 线性相关，则存在常数 $k$，使得 $\alpha = k\beta$ 或 $\beta = k\alpha$。

不妨设 $\alpha = k\beta$，则 $A = (k\beta)(k\beta)^T + \beta\beta^T = (k^2+1)\beta\beta^T.$

因此 $r(A) = r((k^2+1)\beta\beta^T) \leq r(\beta) \leq 1 < 2.$

考点

• 矩阵秩的性质：$r(A+B) \leq r(A) + r(B)$
• 秩一矩阵的秩：$r(\alpha\alpha^T) = 1$ (当 $\alpha \neq 0$)
• 线性相关的定义与性质