2025年线代真题西尔维斯特不等式

题目

设 $n$ 阶矩阵 $A, B, C$ 满足 $r(A) + r(B) + r(C) = r(ABC) + 2n,$ 给出下列四个结论：

① $r(ABC) + n = r(AB) + r(C)$;

② $r(AB) + n = r(A) + r(B)$;

③ $r(A) = r(B) = r(C) = n$;

④ $r(AB) = r(BC) = n$。

其中正确的选项是（ ）

A. ①②

B. ①③

C. ②④

D. ③④

考点

• 西尔维斯特不等式 (Sylvester’s Inequality)
• 矩阵秩的性质
• 逻辑推理与排除法

解答

此题只有命题①②是正确的。

先从命题③和④入手判断选项间的逻辑关系：若③成立，则④一定成立；若④成立，则③一定成立。事实上 $r(AB)=n$ 会推出 $r(A)=r(B)=n$，$r(BC)=n$ 会推出 $r(B)=r(C)=n$。因此③和④等价；并且一旦③、④成立，①、②也自然成立。所以，如果命题③或者命题④正确，那么四个命题就全都正确了。但选项告诉我们，正确的命题只有两个。因此命题③和命题④一定均是错误的，排除 B、C、D，选择 A。

也可以举特例：令 $C$ 为零矩阵，$A$ 和 $B$ 为单位矩阵，符合题干要求，并且可以排除命题③和④。因此选 A。

下面严格证明①②。由西尔维斯特不等式，

$r(ABC) + n \geq r(AB) + r(C),$

$r(AB) + n \geq r(A) + r(B).$

两式相加得 $r(ABC) + 2n \geq r(A) + r(B) + r(C).$

题设恰好给出等号成立，因此上面两次不等式都只能取等号，即

$r(ABC) + n = r(AB) + r(C),$

$r(AB) + n = r(A) + r(B).$ 故①②正确。