5.9 相似大题

能对角化时用共同对角矩阵搭桥；不能对角化时，把 $AP=PB$ 按列拆成方程组。

来源：邂逅遗憾《26 考研数学思维课·线性代数手稿》，第五章“相似”5.9 节，PDF 第 30—35 页（纸质页码第 193—198 页）。本文完整保留例 5.24—5.26。

验算：使用本机 MATLAB R2024b（Symbolic Math Toolbox）精确核验了例 5.24、例 5.26 的 $P^{-1}AP=B$ ，以及例 5.26 的 $A^{100}$ 闭式。

一、计算 $A^n$ 与 $A^n\alpha$

计算 $A^n$ 的通法是相似对角化。若

A=P\Lambda P^{-1},

则

A^n=P\Lambda^nP^{-1}.

原资料提示复习思维课 2.5.11 小节、例 2.44（2016 数一、数二、数三真题）和例 2.45（2024 数一真题）。

计算 $A^n\alpha$ 时，可先把 $\alpha$ 表示成 $A$ 的特征向量的线性组合，再分别乘上对应特征值的 $n$ 次幂。原资料提示复习思维课 3.9.2 小节、例 3.39 和例 3.40（2000 数一真题）。

二、两矩阵都能相似对角化

若 $A,B$ 相似于同一个对角矩阵 $\Lambda$ ，设

P_1^{-1}AP_1=\Lambda, \qquad P_2^{-1}BP_2=\Lambda,

则

P=P_1P_2^{-1}

满足

P^{-1}AP=B.

解答题例 5.24（2019 数一、数二、数三真题）

已知矩阵

A= \begin{pmatrix} -2&-2&1\\ 2&x&-2\\ 0&0&-2 \end{pmatrix}

与

B= \begin{pmatrix} 2&1&0\\ 0&-1&0\\ 0&0&y \end{pmatrix}

相似。

求 $x,y$ ；
求可逆矩阵 $P$ ，使 $P^{-1}AP=B$ 。

解答

第（1）问，由相似矩阵迹相等，

-4+x=1+y,

即

x-y=5.

由行列式相等，

|A|=4x-8,\qquad |B|=-2y,

故

2x+y=4.

联立得

\boxed{x=3,\qquad y=-2}.

第（2）问， $B$ 的特征多项式为

|\lambda E-B| =(\lambda-2)(\lambda+1)(\lambda+2).

所以 $A,B$ 的特征值均为

2,\ -1,\ -2.

分别求 $A$ 的三个特征向量，可取

\xi_1=(-1,2,0)^T,\qquad \xi_2=(-2,1,0)^T,\qquad \xi_3=(-1,2,4)^T.

令

P_1=(\xi_1,\xi_2,\xi_3) = \begin{pmatrix} -1&-2&-1\\ 2&1&2\\ 0&0&4 \end{pmatrix},

则

P_1^{-1}AP_1 =\operatorname{diag}(2,-1,-2).

分别求 $B$ 的三个特征向量，可取

\eta_1=(1,0,0)^T,\qquad \eta_2=(-1,3,0)^T,\qquad \eta_3=(0,0,1)^T.

令

P_2=(\eta_1,\eta_2,\eta_3) = \begin{pmatrix} 1&-1&0\\ 0&3&0\\ 0&0&1 \end{pmatrix},

则

P_2^{-1}BP_2 =\operatorname{diag}(2,-1,-2).

又

P_2^{-1} = \begin{pmatrix} 1&\dfrac13&0\\ 0&\dfrac13&0\\ 0&0&1 \end{pmatrix}.

因此

\begin{aligned} P=P_1P_2^{-1} &= \begin{pmatrix} -1&-2&-1\\ 2&1&2\\ 0&0&4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1&\dfrac13&0\\ 0&\dfrac13&0\\ 0&0&1 \end{pmatrix}\\ &= \boxed{ \begin{pmatrix} -1&-1&-1\\ 2&1&2\\ 0&0&4 \end{pmatrix}}. \end{aligned}

该矩阵满足 $P^{-1}AP=B$ 。

解答题例 5.25（2014 数一、数二、数三真题）

证明 $n$ 阶矩阵

A= \begin{pmatrix} 1&1&\cdots&1\\ 1&1&\cdots&1\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ 1&1&\cdots&1 \end{pmatrix}

与

B= \begin{pmatrix} 0&\cdots&0&1\\ 0&\cdots&0&2\\ \vdots&&\vdots&\vdots\\ 0&\cdots&0&n \end{pmatrix}

相似。

解答

矩阵 $A$ 为实对称矩阵，所以可相似对角化。又

r(A)=1,\qquad \operatorname{tr}(A)=n.

因此 $A$ 的特征值为

n,0,\ldots,0,

从而

A\sim\operatorname{diag}(n,0,\ldots,0).

另一方面，

\begin{aligned} |\lambda E-B| &= \begin{vmatrix} \lambda&0&\cdots&-1\\ 0&\lambda&\cdots&-2\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0&0&\cdots&\lambda-n \end{vmatrix}\\ &=\lambda^{n-1}(\lambda-n). \end{aligned}

所以 $B$ 的特征值也是

n,0,\ldots,0,

其中 $0$ 为 $n-1$ 重特征值。

又

r(-B)=1,

故方程

Bx=0

的基础解系中有 $n-1$ 个线性无关解，即 $B$ 属于特征值 $0$ 有 $n-1$ 个线性无关的特征向量。再加上属于特征值 $n$ 的一个特征向量， $B$ 共有 $n$ 个线性无关特征向量，所以

B\sim\operatorname{diag}(n,0,\ldots,0).

因此 $A,B$ 均相似于同一对角矩阵，由相似关系的传递性，

\boxed{A\sim B}.

三、两矩阵都不能相似对角化

若 $A,B$ 都不能相似对角化，则不能使用共同对角矩阵作桥梁。由

P^{-1}AP=B

改写为

AP=PB,

再把 $P$ 按列分块，转化为若干线性方程组。

解答题例 5.26（张宇八套卷）

设矩阵

A= \begin{pmatrix} -1&0&1\\ 1&2&0\\ a&0&3 \end{pmatrix}

与

B= \begin{pmatrix} 1&b&0\\ 0&1&0\\ 0&0&2 \end{pmatrix}

相似，且

Ax=x+(b,-b,2b)^T

的一个解为 $(0,-1,1)^T$ 。求：

$a,b$ ；
$A^{100}$ 。

解答

第（1）问，由 $A\sim B$ ，有

|A|=|B|.

计算得

-6-2a=2,

所以

\boxed{a=-4}.

又因为 $(0,-1,1)^T$ 是

Ax=x+(b,-b,2b)^T

的一个解，所以

(A-E) \begin{pmatrix} 0\\-1\\1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} b\\-b\\2b \end{pmatrix}.

代入 $a=-4$ 后，左端为

\begin{pmatrix}1\\-1\\2\end{pmatrix},

故

\boxed{b=1}.

第（2）问，设

P=(\xi_1,\xi_2,\xi_3)

为可逆矩阵，使

P^{-1}AP=B.

等价地，

AP=PB.

由

A(\xi_1,\xi_2,\xi_3) =(\xi_1,\xi_2,\xi_3) \begin{pmatrix} 1&1&0\\ 0&1&0\\ 0&0&2 \end{pmatrix}

可得

\begin{cases} A\xi_1=\xi_1,\\ A\xi_2=\xi_1+\xi_2,\\ A\xi_3=2\xi_3. \end{cases}

由 $(E-A)\xi_1=0$ ，可取

\xi_1=(1,-1,2)^T.

由

(E-A)\xi_2=-\xi_1,

可取

\xi_2=(0,-1,1)^T.

由

(2E-A)\xi_3=0,

可取

\xi_3=(0,1,0)^T.

故

P= \begin{pmatrix} 1&0&0\\ -1&-1&1\\ 2&1&0 \end{pmatrix}, \qquad P^{-1}= \begin{pmatrix} 1&0&0\\ -2&0&1\\ -1&1&1 \end{pmatrix}.

因为

B= \begin{pmatrix} 1&1&0\\ 0&1&0\\ 0&0&2 \end{pmatrix},

其左上角二阶 Jordan 块可写成 $E+N$ ，其中 $N^2=O$ ，故

(E+N)^{100}=E+100N.

因此

B^{100} = \begin{pmatrix} 1&100&0\\ 0&1&0\\ 0&0&2^{100} \end{pmatrix}.

最终

\begin{aligned} A^{100} &=PB^{100}P^{-1}\\ &= \begin{pmatrix} 1&0&0\\ -1&-1&1\\ 2&1&0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1&100&0\\ 0&1&0\\ 0&0&2^{100} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1&0&0\\ -2&0&1\\ -1&1&1 \end{pmatrix}\\ &= \boxed{ \begin{pmatrix} -199&0&100\\ 201-2^{100}&2^{100}&-101+2^{100}\\ -400&0&201 \end{pmatrix}}. \end{aligned}

四、题型三

原资料提示：另一类题型详见思维课 3.2 小节。其核心仍是由向量关系构造

AP=PB,

考研真题曾多次考查。

Zemengzhou Space

ギターと孤独と蒼い惑星

5.9 相似大题：矩阵幂与相似变换矩阵

5.9 相似大题

一、计算 $A^n$ 与 $A^n\alpha$

二、两矩阵都能相似对角化

三、两矩阵都不能相似对角化

四、题型三

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5.9 相似大题

一、计算 AnA^nAn 与 AnαA^n\alphaAnα

二、两矩阵都能相似对角化

三、两矩阵都不能相似对角化

四、题型三

一、计算 $A^n$ 与 $A^n\alpha$